Auto-Math

Université catholique de Louvain - UCL

Théorie du module : Calcul matriciel

Déterminant d'une matrice

(a) Définitions et propriétés

Définition - Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre n.  Le déterminant de \(A\) est une fonction qui associe un nombre réel à la matrice \(A\). On le note \(\det (A) \).

  1. Si \(A=(a_{11})\) est une matrice carrée d'ordre 1, on pose \(\det (A)=a_{11} \).
  2. Si \(A\) est une matrice carrée d'ordre 2,


\(A =\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right)\)

on pose \(\det (A)= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \).

  1. En général, si \(A\) est une matrice carrée d'ordre n ,


\(A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & & & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)\)

on pose

\(\det (A) =\displaystyle\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\cdot\, \det (A_i)\cdot a_{i1} \)

où \(A_i\) est la matrice carrée d'ordre n-1 obtenue en supprimant la première colonne et la \(i \)-ème ligne de \(A\).

En particulier, pour les matrices carrées d'ordre 3, on a

\(\begin{array}{rcl} \det\left( \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right) &=& a_{11}\, \det\left( \begin{array}{ll} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right) -a_{21}\, \det\left( \begin{array}{ll} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right)\\ && +a_{31}\, \det\left( \begin{array}{ll} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23}\\ \end{array} \right) \\[4mm] &=&a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{21} (a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32})\\ &&+a_{31}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}). \end{array} \)
 

Le déterminant d'une matrice possède les prorpiétés suivantes.

Propriétés :

  1. La matrice unité d'ordre n, \(I_n \), est telle que \(\det(I_n)=1 \).
  2. Si dans une matrice on permute deux lignes, le déterminant change de signe.
  3.  

 

\(\begin{array}{l} \det\left( \begin{array}{cccc} \cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ \alpha a+\beta b&\cdots&\cdots&\alpha c+\beta d\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot \end{array} \right)\\ =\alpha\cdot \det\left( \begin{array}{cccc} \cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ a&\cdots&\cdots&c\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot \end{array} \right) +\beta\cdot \det\left( \begin{array}{ccccc} \cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ b&\cdots&\cdots&d\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot&\cdot \end{array} \right) \end{array}\)

  1. Si une matrice a une ligne identiquement nulle, alors son d éterminant est nul.
  2. Si une matrice a deux lignes égales, son déterminant est nul.
  3. Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas.
  4. Si \(A\) est une matrice carrée d'ordre n, on a \(\det (A) =\det (A^t) \).
  5. Si \(A\) et \(B\) sont des matrices carrées d'ordre n, on a \(\det (A\cdot B) =\det (A)\cdot \det (B) \).

On peut illustrer la troisième propriété au moyen de l'exemple suivant


\(\begin{array}{rcl} \det\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 8&10&-1\\ 0&1&5 \end{array} \right) &=& \det\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2\cdot 1+3\cdot 2\hspace{3mm}&2\cdot (-1)+3\cdot 4\hspace{3mm}&2\cdot 1+3\cdot(-1)\\ 0&1&5 \end{array} \right)\\ &&\\ &=&2\cdot \det\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&-1&1\\ 0&1&5 \end{array} \right) +3\cdot\ \det\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&4&-1\\ 0&1&5 \end{array} \right) \end{array} \)

 

Remarque : Le déterminant d'une matrice étant égal au déterminant de sa matrice transposée, les propriétés ci-dessus sont valables aussi par rapport aux colonnes.

Si \(E\) est une matrice élémentaire d'ordre n, on a aussi les propriétés suivantes.

Propriétés :

  1. \(\det(E)=\det(E^t)\)
  2. \(\det(E)=-1\) si on permute deux lignes
  3. \(\det(E)=k\) si on mutilplie une ligne par \(k\)
  4. \(\det(E)=1\) si on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne

Le résultat suivant relie les notions de rang, inverse et déterminant d'une matrice carrée.

Théorème - Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre n. Les conditions suivantes sont équivalentes

  1. \(A\) est inversible
  2. \(A\) est le produit de matrices élémentaires
  3. rang \(A\) = n
  4. \(\det(A)\neq 0\)

On a donc

\(A\mbox{ inversible }\Leftrightarrow\mbox{ rang }A=n \Leftrightarrow\det A\neq 0\)

De plus, si \(A\) est inversible, on peut calculer le déterminant de la matrice inverse à partir du déterminant de \(A\).

Théorème - Si \(A\) est inversible alors \(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)} \).

(b) Calcul du déterminant

Pour calculer le déterminant d'une matrice, on utilisera la définition.

  1. Si \(A=(a_{11})\) est une matrice carrée d'ordre 1, on pose \(\det (A)=a_{11} \).
  2. Si \(A\) est une matrice carrée d'ordre 2,


\(A =\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right)\)

on pose \(\det (A)= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \).

  1. En général, si \(A\) est une matrice carrée d'ordre n,


\(A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & & & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)\)

on pose


\(\det(A) =\displaystyle\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\cdot \det(A_i)\cdot a_{i1}\)

où \(A_i\) est la matrice carrée d'ordre n-1 obtenue en supprimant la première colonne et la \(i \)-ème ligne de \(A\).

Remarque : Pour \(n\geq 3 \), on peut choisir la ligne ou la colonne par rapport à laquelle on va calculer le déterminant. En pratique, on le calculera par rapport à la ligne ou la colonne qui contient le plus de 0 .

Soit \(A_{ij}\) la matrice obtenue en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) de la matrice \(A\).

  • Développement par rapport à la colonne \(j\) :


\(\det(A) =\displaystyle\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\cdot \det(A_{ij})\cdot a_{ij}\)

  • Développement par rapport à la ligne \(i \) :


\(\det(A) =\displaystyle\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}\cdot\det(A_{ij})\cdot a_{ij}\)

Calculons le déterminant de la matrice \(A\) en développant par rapport à la première colonne :


\(A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 &1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)\)

On a \(a_{11}=1\) et \(A_{11}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 &1 & 3 \end{array} \right) \), \(a_{21}=0\) et \(A_{21}=\left( \begin{array}{ccc} 0& 3 & 2 \\ 2& 1& 1 \\ 0& 1& 3 \end{array} \right) \), \(a_{31}=2\) et \(A_{31}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 3& 2\\ 1& -1 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{array} \right) \), \(a_{41}=-1\) et \(A_{41}=\left( \begin{array}{ccc} 0& 3& 2\\ 1 & -1 & 0 \\ 2& 1& 1 \end{array} \right)\).

On calcule alors

\(\begin{array}{rcl} \det(A) &=& 1\cdot \det\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 &1 & 3 \end{array} \right) -0\cdot \det\left( \begin{array}{ccc} 0& 3 & 2 \\ 2& 1& 1 \\ 0& 1& 3 \end{array} \right)\\ &&+2\cdot \det\left( \begin{array}{ccc} 0 & 3& 2\\ 1& -1 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{array} \right) -(-1)\cdot \det\left( \begin{array}{ccc} 0& 3& 2\\ 1 & -1 & 0 \\ 2& 1& 1 \end{array} \right) \\[4mm] &=& 1\cdot\left( 1\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} \right) -2\cdot \det\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 3 \end{array} \right)\right)\\ && +2\cdot\left( -1\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right)\right) \\ && -(-1)\cdot\left( -1\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) +2\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \right)\\[4mm] &=& 1\cdot (1\cdot 2- 2\cdot (-3)) +2\cdot( -1)\cdot 7-(-1)(( -1)\cdot 1+2\cdot 2)\\[4mm] &=&8-14+3=-3 \end{array}\)

 

(c) Cas particuliers : les matrices triangulaires

Le calcul du déterminant est plus simple lorsque la matrice a des lignes ou colonnes qui contiennent beaucoup de 0.

Définitions - Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre n.

La matrice \(A\) est triangulaire supérieure si \(a_{ij}=0\) pour \(i>j\).

La matrice \(A\) est triangulaire inférieure si \(a_{ij}=0\) pour \(i<j\).

La matrice \(A\) est diagonale si \(a_{ij}=0\) pour \(i\neq j\).

Par exemple, la matrice \(A\) est triangulaire supérieure, la matrice \(B\) est triangulaire inférieure et la matrice \(C\) est diagonale.


\(\begin{array}{lll} A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3& 2\\ 0& -1 & 5\\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \hspace{1cm} & B=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0& 0\\ -4& 2 & 0\\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \hspace{1cm} & C=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0& 0\\ 0& 6 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} \)

 

Dans le cas des matrices triangulaires, le calcul du déterminant devient particulièrement simple.

Théorème - Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre n.  Si \(A\) est triangulaire supérieure ou inférieure alors


\(\det(A)=a_{11}\cdot a_{22}\cdots a_{nn}.\)

Dans les exemples ci-dessus, on a

\(\det (A)=1\cdot (-1)\cdot 3=-3 \)

\(\det (B)=1\cdot2\cdot 3=6 \)

\(\det (C)=1\cdot 6\cdot 2=12\)

 

Remarque : Pour calculer le déterminant d'une matrice \(A\) carrée d'ordre \(n\) avec \(n>3 \), on échelonnera d'abord la matrice \(A\).  En effet, si \(A'\) est la matrice échelonnée correspondant à \(A\) , on a


\(A'=E_{k}\ldots E_{2}E_{1}A\)

et donc


\(A=E_{1}^{-1}\ldots E_{k-1}^{-1}E_{k}^{-1}A'\)

et


\(\det(A)=\det(E_{1}^{-1})\cdots \det(E_{k-1}^{-1})\cdot \det(E_{k}^{-1})\cdot \det(A').\)

En vertu des propriétés du déterminant des matrices élémentaires et du résultat ci-dessus, on a \(\det (E_i^{-1})=-1 \), \(1\) ou \(\alpha\) pour tout \(i=1,\ldots k\) et \(\det (A') =\)produit des éléments diagonaux.

Calculons le déterminant de la matrice \(A\) en échelonnant d'abord la matrice.

\(\begin{array}{lll} &A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right) & \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_3 \rightarrow L_3 - 2 \, L_1\\ L_4 \rightarrow L_4+ L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & A_1=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \end{array} \right)\hspace{1cm} &\mbox{ et }\det(A)=1\cdot 1\cdot \det(A_1) \\ {}\\ L_3 \leftrightarrow L_4 \, \hspace{5mm} & A_2=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \end{array} \right)\hspace{1cm} &\mbox{ et }\det(A)=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot \det(A_2) \\ {}\\ L_4 \rightarrow L_4 - 2L_2 \, \hspace{5mm} & A_3=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & -3 & -3 \end{array} \right)\hspace{1cm} &\mbox{ et }\det(A)=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1\cdot \det(A_3) \\ {}\\ L_4 \rightarrow L_4 +\dfrac{3}{4}L_3 \, \hspace{5mm} & A_4=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{3}{4} \end{array} \right)\hspace{1cm} &\mbox{ et }\det(A)=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1\cdot 1\cdot \det(A_4) \end{array} \)

On obtient finalement

\(\det( A )=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1\cdot 1\cdot \left[ 1\cdot 1\cdot 4\cdot \dfrac{3}{4}\right] =-3.\)

Théorie

Retour au module