Théorie du module : Calcul matriciel

Définitions

Une matrice \(A=(a_{ij})\) de genre (m,n) est un tableau rectangulaire comprenant m lignes et n colonnes de nombres réels.

L'élément \(a_{ij}\) est le nombre réel qui se trouve au croisement de la ligne \(i\) et de la colonne \(j \).

\(A = \left( \begin{array}{rrrrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & & & & \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right)\)

 

Cas particulier : L'ensemble \(\mathbb{R}^n\) est l'ensemble des vecteurs à \(n\) composantes. Il peut être vu comme l'ensemble des matrices-lignes, de genre (1,n), ou encore comme l'ensemble des matrices-colonnes, de genre (n,1).

Dans les exemples suivants, la matrice \(A\) est de genre (2,2), la matrice \(B\) est de genre (2,3) et le vecteur \(\vec{v}\in\mathbb{R}^4\) :

\(\begin{array}{ccc} A=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 2 \end{array} \right) \hspace{1cm} & B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1\\ 0 & 5 & 6 \end{array} \right) \hspace{1cm} & \vec{v}=(1,2,4,3) \end{array}\)

Une matrice carrée est une matrice qui a autant de lignes que de colonnes, c'est-à-dire qui est de genre (n,n). On parlera de matrice carrée d'ordre n.  Dans une matrice carrée, la diagonale formée par les éléments \(a_{ii}\) s'appelle diagonale principale.

Par exemple, la matrice

\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 2 \end{array} \right)\)

est une matrice carrée d'ordre 2. Sa diagonale principale est constituée des éléments \(1\) et \(2 \).

Théorie