Théorie du module : Calcul matriciel

Opérations sur les matrices

(a) Somme de deux matrices et produit d'une matrice par un scalaire

Définitions - Soit \(A\), \(B\) des matrices de genre (m,n) et \(k\in\mathbb{R} \).

La matrice \(A+B\) est la matrice \(C\) de genre (m,n) où \(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij} \).  La matrice \(k\cdot A\) est la matrice \(C\) de genre (m,n) où \(c_{ij}=k\cdot a_{ij} \).

Si \(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 3 \end{array} \right)\), \(B=\left( \begin{array}{cc} 2 & 2\\ 1 & 0 \end{array} \right)\) et \(k=3\) alors

\(A+B=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 3 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 2 & 2\\ 1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{array} \right)\)

et

\(k\cdot A=3\cdot\left( \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3 & -3\\ 0 & 9 \end{array} \right)\)

 

La somme matricielle possède les propriétés suivantes :

Propriétés : Pour toutes matrices \(A\), \(B \), \(C\) de genre (m,n), pour tout \(c\), \(k\in\mathbb{R} \), on a

  1. \(A+B=B+A\)
  2. \(A+(B+C)=(A+B)+C\)
  3. \(A+O=A\)\(O\) est la matrice nulle
  4. \(A+(-1)\, A=O\)
  5. \(k\cdot (A + B)=k\cdot A+k\cdot B\)
  6. \((k + c) \cdot A = k \cdot A + c\cdot A\)
  7. \((k\cdot c) \cdot A=k\cdot(c\cdot A)\)

(b) Produit de deux matrices

Nous définirons le produit de deux matrices A et B dans le cas où le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.

Définition - Soit A une matrice de genre (m,n) et B une matrice de genre (n,p) .

La matrice \(A\cdot B\) est la matrice \(C\) de genre (m,p) où

\(c_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^na_{ik}\cdot b_{kj}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+a_{i3}\cdot b_{3j}+\cdots +a_{in}\cdot b_{nj}.\)

Si \(A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3\\ 1&0 \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{cc} -1 &0\\ 3 &2 \end{array} \right)\) alors

\(A\cdot B=\left( \begin{array}{cc} 2\cdot (-1)+3\cdot 3\hspace{1cm} & 2\cdot 0+3\cdot 2\\ 1\cdot (-1)+0\cdot 3\hspace{1cm} & 1\cdot 0+0\cdot 2 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 7 & 6\\ -1 & 0 \end{array} \right)\)

et

\(B\cdot A=\left( \begin{array}{cc} (-1)\cdot 2+0\cdot 1\hspace{1cm} & (-1)\cdot 3+0\cdot 0\\ 3\cdot 2+2\cdot 1\hspace{1cm} & 3\cdot 3+2\cdot 0 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} -2 & -3\\ 8 & 9 \end{array} \right) \)
 

Si \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 &3\\ 4 & 5 &6 \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right)\) alors \(A\cdot B\) est de genre (2,1)

\(A\cdot B=\left( \begin{array}{c} 1\cdot 0+2\cdot 1+3\cdot (-1)\\ 4\cdot 0+5\cdot 1+6\cdot (-1) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} -1\\ -1 \end{array} \right)\)

et \(B\cdot A\) n'existe pas puisque le nombre de colonnes de \(B \) n'est pas égal au nombre de lignes de \(A\).

Remarque : En général on a \(A\cdot B\neq B\cdot A \).

On note \(I_n\) la matrice carrée d'ordre n ayant des \(1\) sur la diagonale principale et des \(0\) ailleurs. La matrice \(I_n\) s'appelle matrice unité ou identité.

\(I_2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \hspace{5mm}, \hspace{5mm} I_3 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)

Le produit matriciel possède les propriétés suivantes :

Propriétés : Pour toutes matrices \(A \), \(B \), \(C\) de genre (m,n) , pour tout \(c \), \(k\in\mathbb{R} \), on a

  1. Si \(A \) est de genre (m,n) , alors \(I_m \cdot A = A = A \cdot I_n\)
  2. Si \(A \) est de genre (m,n) , \(B \) est de genre (n,p) et \(C\) est de genre (p,q) , alors \(A\cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C\)
  3. Si \(A \) est de genre (m,n) et \(B \), \(C\) sont de genre (n,p) , alors \(A\cdot (B +C) = (A \cdot B)+(A\cdot C)\)
  4. Si \(A \) , \(B\) sont de genre (m,n) et \(C\) est de genre (n,p) , alors \((A+B)\cdot C = (A \cdot C)+(B\cdot C)\)
  5. Si \(A \) est de genre (m,n) , \(B \), \(C\) sont de genre (n,p) , \(D\) est de genre (p,q) et \(c \)\(k\in\mathbb{R} \) alors

    \(A \cdot (k\cdot B + c\cdot C) = k\cdot A \cdot B + c\cdot A \cdot C\)
    \((k\cdot B + c\cdot C) \cdot D = k\cdot B \cdot D+ c\cdot C \cdot D\)

Le produit de deux matrices non nulles peut être nul :
Si \(A=\left( \begin{array}{cc} 0 &0\\ 1& 0 \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0\\ 2& 0 \end{array} \right) \) alors \(A\cdot B=\left( \begin{array}{cc} 0&0\\ 0&0 \end{array} \right) \)

(c) Transposée d'une matrice

Définition - Soit \(A \) une matrice de genre (m,n) .

La transposée de \(A \) est la matrice \(C\) de genre (n,m) où \(c_{ij}=a_{ji}\).  On la note \(A^t \).

Si \(A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & -1 & 5\\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right)\) alors \(A^t = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 0\\ 2 & -1 & 2\\ 3 & 5 & 1 \end{array} \right)\)

La transposition possède les propriétés suivantes :

Propriétés :

  1. Si \(A \) et \(B \) sont de genre (m,n) , alors

\((A+B)^t=A^t+B^t\)

  1. Si \(A \) est de genre (m,n) et \(B \) est de genre (n,p) , alors


\((A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t\)

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