Théorie du module : Calcul matriciel
Table des matières
- Définitions
- Opérations sur les matrices
- Matrice échelonnée
- Rang d'une matrice
- Inverse d'une matrice
- Déterminant d'une matrice
- Exemples détaillés
Rang d'une matrice
Définition - Le rang d'une matrice \(A\) est le nombre de lignes non nulles dans la matrice échelonnée associée à \(A\). Ce rang est indépendant de la manière dont on échelonne la matrice \(A\).
Calculons le rang de la matrice
\(A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)\)
On a vu ci-dessus qu'après échelonnement, on obtient la matrice
\(A'=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{3}{4} \end{array} \right)\)
Cette matrice \(A'\) ayant 4 lignes non nulles, elle est de rang 4. On en déduit que la matrice \(A\) est de rang 4.
Calculons le rang de la matrice
\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right)\)
On effectue l'opération élémentaire \(L_2 \rightarrow L_2 - 2L_1\) et on obtient la matrice échelonnée
\(A'=\left( \begin{array}{cccc} 1 &2 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\)
Cette matrice \(A'\) ayant 1 ligne non nulle, elle est de rang 1. On en déduit que la matrice \(A\) est de rang 1.