Théorie du module : Calcul matriciel
Table des matières
- Définitions
- Opérations sur les matrices
- Matrice échelonnée
- Rang d'une matrice
- Inverse d'une matrice
- Déterminant d'une matrice
- Exemples détaillés
Inverse d'une matrice
(a) Définitions et propriétés
Définition - Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre n . \(A\) est inversible s'il existe une matrice \(B\) carrée d'ordre n telle que
\(A\cdot B=I_n=B\cdot A.\)
La matrice \(B\), inverse de \(A\), est notée \(A^{-1} \).
Par exemple la matrice
\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right)\)
est inversible et son inverse est la matrice
\(A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} \dfrac{3}{5} & -\dfrac{2}{5} \\ \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \end{array} \right)\)
En effet, on a \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_2 \).
La matrice
\(A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \)
n'a pas d'inverse car pour toute matrice
\(B= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\)
le produit \(A\cdot B\) contient une ligne de zéros et ne peut donc pas être égal à \(I_2 \) :
\(A\cdot B=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0\\ a+3c & b+3d \end{array} \right) \neq \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0& 1 \end{array} \right) \)
Propriétés : Soit \(A \), \(B\) et \(C\) des matrices d'ordre n.
- Si l'inverse existe alors elle est unique
- \(A\cdot A^{-1}=I_n,\, \, A^{-1}\cdot A=I_n\)
- Si \(A\cdot B=B\cdot C=I_n\) alors \(A=C\)
- \(I_n^{-1}=I_n\)
- \((A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}\)
- \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\)
- Si \(A \) est inversible alors \(A\cdot B=A\cdot C\) si et seulement si \(B=C \).
Les matrices élémentaires possèdent les propriétés suivantes :
Propriétés :
- Les matrices élémentaires sont inversibles.
- L'inverse d'une matrice élémentaire est encore une matrice élémentaire.
En effet, on peut montrer que
- les matrices élémentaires obtenues en permutant deux lignes sont leur propre inverse,
- l'inverse d'une matrice élémentaire obtenue en multipliant une ligne par une constant \(k \) non nulle est la matrice élémentaire de même type obtenue en remplaçant le scalaire \(k \) par son inverse \(\dfrac{1}{k} \),
- l'inverse d'une matrice élémentaire obtenue en ajoutant à une ligne un multiple d'une autre ligne est la matrice élémentaire de même type obtenue en remplaçant le scalaire \(k \) par \(-k \).
Par exemple
-
la matrice
\(E_1=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)
est la matrice élémentaire obtenue en permutant les deux premières lignes de la matrice unité. On vérifie que son inverse est la matrice
\(E_1^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)
et on a bien \(E_1^{-1}=E_1\).
- la matrice
\(E_2=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right)\)
est la matrice élémentaire obtenue en multipliant la troisième ligne de la matrice unité par 4. On vérifie que son inverse est la matrice
\(E_2^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &\frac{1}{4} \end{array} \right)\)
qui est une matrice du même type.
- la matrice
\(E_3=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} \right)\)
est la matrice élémentaire obtenue en soustrayant deux fois la première ligne de la troisième ligne de la matrice unité. On vérifie que son inverse est la matrice
\(E_3^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right)\)
qui est une matrice du même type.
(b) Calcul de la matrice inverse
Soit \(E_1 \), \(E_2 \),\(\ldots E_k\) les matrices élémentaires qui "représentent" les opérations élémentaires successives qui ont été appliquées à la matrice \(A\) pour la transformer en la matrice unité :
\(E_{k}\ldots E_{2}E_{1}A=I_n.\)
Puisque la matrice \(A^{-1} \), inverse de \(A\), est l'unique matrice telle que \(A^{-1}A=I_n \), on peut montrer que
\(A^{-1}=E_{k}\ldots E_{2}E_{1}=E_{k}\ldots E_{2}E_{1}I_n.\)
La matrice inverse de \(A\) est donc la matrice obtenue en appliquant à la matrice unité \(I_n\) les opérations élémentaires qu'on a appliquées à la matrice \(A\).
En pratique, on dispose les matrices \(A\) et \(I_n\) côte à côte (\(A\vert I_n\)) , puis on effectue des opérations élémentaires sur les lignes de \(A\) pour parvenir à la matrice \(I_n\). On effectue en même temps les mêmes opérations élémentaires sur la matrice \(I_n\). A la fin du processus, on arrive à une matrice du type (\(I_n\vert B\)) . La matrice \(B\) est en fait la matrice \(A^{-1} \), l'inverse de la matrice \(A\).
Cette méthode de calcul de l'inverse de \(A\) s'appelle méthode de la matrice compagnon.
Par exemple, calculons la matrice inverse de la matrice
\(A = \left( \begin{array}{ccc} 2\,\, & 2\,\, & 3\,\, \\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\)
On forme la matrice (\(A|I_3\)) et on applique la procédure décrite ci-dessus :
\(\begin{array}{ll} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2\,\, & 2\,\, & 3\,\,& 1\,\, & 0\,\, & 0\,\,\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2 - \dfrac{1}{2} \, L_1\\ L_3 \rightarrow L_3 - \dfrac{1}{2}L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2\,\, & 2\,\, & 3\,\, & 1\,\, & 0\,\, & 0\,\, \\ 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 1 & 0\\ 0 & 0 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_1 \rightarrow \dfrac{1}{2} L_1\\ L_2 \rightarrow - L_2 \\ L_3 \rightarrow -2 L_3 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1\,\, & 1\,\, & \dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} & 0\,\, & 0\,\, \\ 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array} \right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_1 \rightarrow L_1 - L_2 - L_3 \\ L_2 \rightarrow L_2 - \dfrac{1}{2} L_3 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1\,\, & 0\,\, & 0 & -1\,\, & 1\,\, & 2\,\, \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right) \end{array}\)
L'inverse de \(A\) est donc la matrice
\(A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} -1\,\, & 1\,\, & 2\,\, \\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right)\)
L'inverse de la matrice
\(A=\left( \begin{array}{cc} a\,\, & b \\ c & d \end{array} \right)\)
est la matrice
\(A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \)
En effet, par la méthode de la matrice compagnon, on obtient
\(\begin{array}{ll} & \left( \begin{array}{cc|cc} a\,\, & b\,\, &1\,\, &0\,\, \\ c & d&0&1 \end{array} \right) \\ {}\\ L_2 \rightarrow L_2-\dfrac{c}{a}L_1 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|cc} a & b&1&0 \\ 0& d-\dfrac{bc}{a}&\dfrac{-c}{a}&1 \end{array} \right) \\ {}\\ L_2 \rightarrow a\cdot L_2 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|cc} a & b&1&0 \\ 0& ad-bc&-c&a \end{array} \right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_1 \rightarrow L_1-\dfrac{b}{ad-bc}L_2 \\ L_2 \rightarrow \dfrac{L_2}{ad-bc} \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|cc} a & 0&1+\dfrac{bc}{ad-bc}&\dfrac{-ab}{ad-bc}\\ 0 & 1&\dfrac{-c}{ad-bc}&\dfrac{a}{ad-bc} \end{array} \right)\\ {}\\ &\left( \begin{array}{cc|cc} a & 0&\dfrac{ad}{ad-bc}&\dfrac{-ab}{ad-bc} \\ 0 & 1&\dfrac{-c}{ad-bc}&\dfrac{a}{ad-bc} \end{array} \right) \\ {}\\ L_1 \rightarrow\dfrac{L_1}{a} \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|cc} 1& 0&\dfrac{d}{ad-bc}&\dfrac{-b}{ad-bc} \\ 0 & 1&\dfrac{-c}{ad-bc}&\dfrac{a}{ad-bc} \end{array} \right) \end{array} \)
L'inverse de \(A\) est donc la matrice
\(A^{-1} =\left( \begin{array}{cc} \dfrac{d}{ad-bc}&\dfrac{-b}{ad-bc}\\ \dfrac{-c}{ad-bc}&\dfrac{a}{ad-bc} \end{array} \right) = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)\)