Théorie du module : Calcul matriciel

Matrice échelonnée

Définition - Une matrice est échelonnée si le nombre de \(0\) au début de chaque ligne est strictement croissant quand on passe d'une ligne à la suivante.

Le premier élément non nul de chaque ligne dans une matrice échelonnée s'appelle le pivot.

Par exemple, la matrice suivante est échelonnée et les pivots sont encadrés :


\(\left( \begin{array}{ccccccc} 0 & \fbox{1} & 2 & 3 & 2 & 7 & 4\\ 0 & 0 & 0 & \fbox{2} & 5 & 3 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \fbox{4} & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \fbox{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

La matrice suivante n'est pas échelonnée :

\(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 3 & -1\\ 0 & 2 & -4 & 5\\ 0 & 1 & 0 & 3 \end{array} \right)\)

Définition - Faire une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice consiste à

  1. permuter 2 lignes;
  2. multiplier une ligne par une constante non nulle;
  3. ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne.

 On peut montrer que faire une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice revient à multiplier à gauche cette matrice par la matrice identité ayant subi l'opération élémentaire correspondante.

Définition - Une matrice élémentaire est la matrice obtenue en appliquant une opération élémentaire à la matrice identité.

Théorème - On peut transformer toute matrice en une matrice échelonnée en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes. 

 Par exemple, échelonnons la matrice


\(A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)\)

On effectue successivement les opérations élémentaires suivantes

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_3 \rightarrow L_3 - 2 \, L_1\\ L_4 \rightarrow L_4+ L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \end{array} \right) \\[1cm] L_3 \leftrightarrow L_4 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 &0 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \end{array} \right) \\[1cm] L_4 \rightarrow L_4 - 2L_2 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 &0 & -3 & -3 \end{array} \right) \\[1cm] L_4 \rightarrow L_4 +\dfrac{3}{4}L_3 \, \hspace{5mm} & A'=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0& \dfrac{3}{4} \end{array} \right) \end{array} \)

On vérifie facilement que

\(A'= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{3}{4}& 1 \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0& 1 \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1& 0 \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0& 1 \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{array} \right) \cdot A\)

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