Théorie du module : Calcul matriciel

Définitions

Une matrice \(A=(a_{ij})\) de genre (m,n) est un tableau rectangulaire comprenant m lignes et n colonnes de nombres réels.

L'élément \(a_{ij}\) est le nombre réel qui se trouve au croisement de la ligne \(i\) et de la colonne \(j \).

\(A = \left( \begin{array}{rrrrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & & & & \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right)\)

 

Cas particulier : L'ensemble \(\mathbb{R}^n\) est l'ensemble des vecteurs à \(n\) composantes. Il peut être vu comme l'ensemble des matrices-lignes, de genre (1,n), ou encore comme l'ensemble des matrices-colonnes, de genre (n,1).

Dans les exemples suivants, la matrice \(A\) est de genre (2,2), la matrice \(B\) est de genre (2,3) et le vecteur \(\vec{v}\in\mathbb{R}^4\) :

\(\begin{array}{ccc} A=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 2 \end{array} \right) \hspace{1cm} & B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1\\ 0 & 5 & 6 \end{array} \right) \hspace{1cm} & \vec{v}=(1,2,4,3) \end{array}\)

Une matrice carrée est une matrice qui a autant de lignes que de colonnes, c'est-à-dire qui est de genre (n,n). On parlera de matrice carrée d'ordre n.  Dans une matrice carrée, la diagonale formée par les éléments \(a_{ii}\) s'appelle diagonale principale.

Par exemple, la matrice

\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 2 \end{array} \right)\)

est une matrice carrée d'ordre 2. Sa diagonale principale est constituée des éléments \(1\) et \(2 \).

Opérations sur les matrices

(a) Somme de deux matrices et produit d'une matrice par un scalaire

Si \(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 3 \end{array} \right)\), \(B=\left( \begin{array}{cc} 2 & 2\\ 1 & 0 \end{array} \right)\) et \(k=3\) alors

\(A+B=\left( \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 3 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 2 & 2\\ 1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{array} \right)\)

et

\(k\cdot A=3\cdot\left( \begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 3 & -3\\ 0 & 9 \end{array} \right)\)

 

La somme matricielle possède les propriétés suivantes :

(b) Produit de deux matrices

Nous définirons le produit de deux matrices A et B dans le cas où le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.

Si \(A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3\\ 1&0 \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{cc} -1 &0\\ 3 &2 \end{array} \right)\) alors

\(A\cdot B=\left( \begin{array}{cc} 2\cdot (-1)+3\cdot 3\hspace{1cm} & 2\cdot 0+3\cdot 2\\ 1\cdot (-1)+0\cdot 3\hspace{1cm} & 1\cdot 0+0\cdot 2 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 7 & 6\\ -1 & 0 \end{array} \right)\)

et

\(B\cdot A=\left( \begin{array}{cc} (-1)\cdot 2+0\cdot 1\hspace{1cm} & (-1)\cdot 3+0\cdot 0\\ 3\cdot 2+2\cdot 1\hspace{1cm} & 3\cdot 3+2\cdot 0 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} -2 & -3\\ 8 & 9 \end{array} \right) \)
 

Si \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 &3\\ 4 & 5 &6 \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right)\) alors \(A\cdot B\) est de genre (2,1)

\(A\cdot B=\left( \begin{array}{c} 1\cdot 0+2\cdot 1+3\cdot (-1)\\ 4\cdot 0+5\cdot 1+6\cdot (-1) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} -1\\ -1 \end{array} \right)\)

et \(B\cdot A\) n'existe pas puisque le nombre de colonnes de \(B \) n'est pas égal au nombre de lignes de \(A\).

Remarque : En général on a \(A\cdot B\neq B\cdot A \).

On note \(I_n\) la matrice carrée d'ordre n ayant des \(1\) sur la diagonale principale et des \(0\) ailleurs. La matrice \(I_n\) s'appelle matrice unité ou identité.

\(I_2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \hspace{5mm}, \hspace{5mm} I_3 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)

Le produit matriciel possède les propriétés suivantes :

Le produit de deux matrices non nulles peut être nul :
Si \(A=\left( \begin{array}{cc} 0 &0\\ 1& 0 \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0\\ 2& 0 \end{array} \right) \) alors \(A\cdot B=\left( \begin{array}{cc} 0&0\\ 0&0 \end{array} \right) \)

(c) Transposée d'une matrice

Si \(A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & -1 & 5\\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right)\) alors \(A^t = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 0\\ 2 & -1 & 2\\ 3 & 5 & 1 \end{array} \right)\)

La transposition possède les propriétés suivantes :

Matrice échelonnée

Par exemple, la matrice suivante est échelonnée et les pivots sont encadrés :

\(\left( \begin{array}{ccccccc} 0 & \fbox{1} & 2 & 3 & 2 & 7 & 4\\ 0 & 0 & 0 & \fbox{2} & 5 & 3 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \fbox{4} & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \fbox{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

La matrice suivante n'est pas échelonnée :

\(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 3 & -1\\ 0 & 2 & -4 & 5\\ 0 & 1 & 0 & 3 \end{array} \right)\)

 On peut montrer que faire une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice revient à multiplier à gauche cette matrice par la matrice identité ayant subi l'opération élémentaire correspondante.

 Par exemple, échelonnons la matrice

\(A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)\)

On effectue successivement les opérations élémentaires suivantes

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_3 \rightarrow L_3 - 2 \, L_1\\ L_4 \rightarrow L_4+ L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \end{array} \right) \\[1cm] L_3 \leftrightarrow L_4 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 &0 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \end{array} \right) \\[1cm] L_4 \rightarrow L_4 - 2L_2 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 &0 & -3 & -3 \end{array} \right) \\[1cm] L_4 \rightarrow L_4 +\dfrac{3}{4}L_3 \, \hspace{5mm} & A'=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0& \dfrac{3}{4} \end{array} \right) \end{array} \)

On vérifie facilement que

\(A'= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{3}{4}& 1 \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0& 1 \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1& 0 \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0& 1 \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{array} \right) \cdot A\)

Rang d'une matrice

Calculons le rang de la matrice

\(A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)\)

On a vu ci-dessus qu'après échelonnement, on obtient la matrice

\(A'=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{3}{4} \end{array} \right)\)

Cette matrice \(A'\) ayant 4 lignes non nulles, elle est de rang 4. On en déduit que la matrice \(A\) est de rang 4.

Calculons le rang de la matrice

\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right)\)

On effectue l'opération élémentaire \(L_2 \rightarrow L_2 - 2L_1\) et on obtient la matrice échelonnée

\(A'=\left( \begin{array}{cccc} 1 &2 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\)

Cette matrice \(A'\) ayant 1 ligne non nulle, elle est de rang 1. On en déduit que la matrice \(A\) est de rang 1.

Inverse d'une matrice

(a) Définitions et propriétés

Par exemple la matrice

\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right)\)

est inversible et son inverse est la matrice

\(A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} \dfrac{3}{5} & -\dfrac{2}{5} \\ \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \end{array} \right)\)

En effet, on a \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_2 \).

La matrice

\(A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \)

n'a pas d'inverse car pour toute matrice

\(B= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\)

le produit \(A\cdot B\) contient une ligne de zéros et ne peut donc pas être égal à \(I_2 \) :

\(A\cdot B=\left( \begin{array}{cc} 0 & 0\\ a+3c & b+3d \end{array} \right) \neq \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0& 1 \end{array} \right) \)

 

Les matrices élémentaires possèdent les propriétés suivantes : 

En effet, on peut montrer que

1. les matrices élémentaires obtenues en permutant deux lignes sont leur propre inverse,
2. l'inverse d'une matrice élémentaire obtenue en multipliant une ligne par une constant \(k \) non nulle est la matrice élémentaire de même type obtenue en remplaçant le scalaire \(k \) par son inverse \(\dfrac{1}{k} \),
3. l'inverse d'une matrice élémentaire obtenue en ajoutant à une ligne un multiple d'une autre ligne est la matrice élémentaire de même type obtenue en remplaçant le scalaire \(k \) par \(-k \).

Par exemple

1. la matrice

\(E_1=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)

est la matrice élémentaire obtenue en permutant les deux premières lignes de la matrice unité. On vérifie que son inverse est la matrice

\(E_1^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)

et on a bien \(E_1^{-1}=E_1\).

2. la matrice

\(E_2=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right)\)

est la matrice élémentaire obtenue en multipliant la troisième ligne de la matrice unité par 4. On vérifie que son inverse est la matrice

\(E_2^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &\frac{1}{4} \end{array} \right)\)

qui est une matrice du même type.

3. la matrice

\(E_3=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array} \right)\)

est la matrice élémentaire obtenue en soustrayant deux fois la première ligne de la troisième ligne de la matrice unité. On vérifie que son inverse est la matrice

\(E_3^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right)\)

qui est une matrice du même type.

(b) Calcul de la matrice inverse

Soit \(E_1 \), \(E_2 \),\(\ldots E_k\) les matrices élémentaires qui "représentent" les opérations élémentaires successives qui ont été appliquées à la matrice \(A\) pour la transformer en la matrice unité :

\(E_{k}\ldots E_{2}E_{1}A=I_n.\)

Puisque la matrice \(A^{-1} \), inverse de \(A\), est l'unique matrice telle que \(A^{-1}A=I_n \), on peut montrer que

\(A^{-1}=E_{k}\ldots E_{2}E_{1}=E_{k}\ldots E_{2}E_{1}I_n.\)

La matrice inverse de \(A\) est donc la matrice obtenue en appliquant à la matrice unité \(I_n\) les opérations élémentaires qu'on a appliquées à la matrice \(A\).

En pratique, on dispose les matrices \(A\) et \(I_n\) côte à côte (\(A\vert I_n\)) , puis on effectue des opérations élémentaires sur les lignes de \(A\) pour parvenir à la matrice \(I_n\). On effectue en même temps les mêmes opérations élémentaires sur la matrice \(I_n\). A la fin du processus, on arrive à une matrice du type (\(I_n\vert B\)) . La matrice \(B\) est en fait la matrice \(A^{-1} \), l'inverse de la matrice \(A\).

Cette méthode de calcul de l'inverse de \(A\) s'appelle méthode de la matrice compagnon.

Par exemple, calculons la matrice inverse de la matrice

\(A = \left( \begin{array}{ccc} 2\,\, & 2\,\, & 3\,\, \\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\)

On forme la matrice (\(A|I_3\)) et on applique la procédure décrite ci-dessus :

\(\begin{array}{ll} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2\,\, & 2\,\, & 3\,\,& 1\,\, & 0\,\, & 0\,\,\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2 - \dfrac{1}{2} \, L_1\\ L_3 \rightarrow L_3 - \dfrac{1}{2}L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 2\,\, & 2\,\, & 3\,\, & 1\,\, & 0\,\, & 0\,\, \\ 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 1 & 0\\ 0 & 0 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_1 \rightarrow \dfrac{1}{2} L_1\\ L_2 \rightarrow - L_2 \\ L_3 \rightarrow -2 L_3 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1\,\, & 1\,\, & \dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} & 0\,\, & 0\,\, \\ 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array} \right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_1 \rightarrow L_1 - L_2 - L_3 \\ L_2 \rightarrow L_2 - \dfrac{1}{2} L_3 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1\,\, & 0\,\, & 0 & -1\,\, & 1\,\, & 2\,\, \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right) \end{array}\)

L'inverse de \(A\) est donc la matrice

\(A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} -1\,\, & 1\,\, & 2\,\, \\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right)\)

 

L'inverse de la matrice

\(A=\left( \begin{array}{cc} a\,\, & b \\ c & d \end{array} \right)\)

est la matrice

\(A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \)

En effet, par la méthode de la matrice compagnon, on obtient

\(\begin{array}{ll} & \left( \begin{array}{cc|cc} a\,\, & b\,\, &1\,\, &0\,\, \\ c & d&0&1 \end{array} \right) \\ {}\\ L_2 \rightarrow L_2-\dfrac{c}{a}L_1 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|cc} a & b&1&0 \\ 0& d-\dfrac{bc}{a}&\dfrac{-c}{a}&1 \end{array} \right) \\ {}\\ L_2 \rightarrow a\cdot L_2 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|cc} a & b&1&0 \\ 0& ad-bc&-c&a \end{array} \right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_1 \rightarrow L_1-\dfrac{b}{ad-bc}L_2 \\ L_2 \rightarrow \dfrac{L_2}{ad-bc} \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|cc} a & 0&1+\dfrac{bc}{ad-bc}&\dfrac{-ab}{ad-bc}\\ 0 & 1&\dfrac{-c}{ad-bc}&\dfrac{a}{ad-bc} \end{array} \right)\\ {}\\ &\left( \begin{array}{cc|cc} a & 0&\dfrac{ad}{ad-bc}&\dfrac{-ab}{ad-bc} \\ 0 & 1&\dfrac{-c}{ad-bc}&\dfrac{a}{ad-bc} \end{array} \right) \\ {}\\ L_1 \rightarrow\dfrac{L_1}{a} \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|cc} 1& 0&\dfrac{d}{ad-bc}&\dfrac{-b}{ad-bc} \\ 0 & 1&\dfrac{-c}{ad-bc}&\dfrac{a}{ad-bc} \end{array} \right) \end{array} \)

L'inverse de \(A\) est donc la matrice

\(A^{-1} =\left( \begin{array}{cc} \dfrac{d}{ad-bc}&\dfrac{-b}{ad-bc}\\ \dfrac{-c}{ad-bc}&\dfrac{a}{ad-bc} \end{array} \right) = \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)\)

Déterminant d'une matrice

(a) Définitions et propriétés

En particulier, pour les matrices carrées d'ordre 3, on a

\(\begin{array}{rcl} \det\left( \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right) &=& a_{11}\, \det\left( \begin{array}{ll} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right) -a_{21}\, \det\left( \begin{array}{ll} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right)\\ && +a_{31}\, \det\left( \begin{array}{ll} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23}\\ \end{array} \right) \\[4mm] &=&a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{21} (a_{12}a_{33}-a_{13}a_{32})\\ &&+a_{31}(a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}). \end{array} \)
 

Le déterminant d'une matrice possède les prorpiétés suivantes.

On peut illustrer la troisième propriété au moyen de l'exemple suivant

\(\begin{array}{rcl} \det\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 8&10&-1\\ 0&1&5 \end{array} \right) &=& \det\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2\cdot 1+3\cdot 2\hspace{3mm}&2\cdot (-1)+3\cdot 4\hspace{3mm}&2\cdot 1+3\cdot(-1)\\ 0&1&5 \end{array} \right)\\ &&\\ &=&2\cdot \det\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&-1&1\\ 0&1&5 \end{array} \right) +3\cdot\ \det\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&4&-1\\ 0&1&5 \end{array} \right) \end{array} \)

 

Remarque : Le déterminant d'une matrice étant égal au déterminant de sa matrice transposée, les propriétés ci-dessus sont valables aussi par rapport aux colonnes.

Si \(E\) est une matrice élémentaire d'ordre n, on a aussi les propriétés suivantes.

Le résultat suivant relie les notions de rang, inverse et déterminant d'une matrice carrée.

On a donc

\(A\mbox{ inversible }\Leftrightarrow\mbox{ rang }A=n \Leftrightarrow\det A\neq 0\)

De plus, si \(A\) est inversible, on peut calculer le déterminant de la matrice inverse à partir du déterminant de \(A\).

(b) Calcul du déterminant

Pour calculer le déterminant d'une matrice, on utilisera la définition.

1. Si \(A=(a_{11})\) est une matrice carrée d'ordre 1, on pose \(\det (A)=a_{11} \).
2. Si \(A\) est une matrice carrée d'ordre 2,

\(A =\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right)\)

on pose \(\det (A)= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \).

3. En général, si \(A\) est une matrice carrée d'ordre n,

\(A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & & & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)\)

on pose

\(\det(A) =\displaystyle\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\cdot \det(A_i)\cdot a_{i1}\)

où \(A_i\) est la matrice carrée d'ordre n-1 obtenue en supprimant la première colonne et la \(i \)-ème ligne de \(A\).

Remarque : Pour \(n\geq 3 \), on peut choisir la ligne ou la colonne par rapport à laquelle on va calculer le déterminant. En pratique, on le calculera par rapport à la ligne ou la colonne qui contient le plus de 0 .

Soit \(A_{ij}\) la matrice obtenue en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) de la matrice \(A\).

• Développement par rapport à la colonne \(j\) :

\(\det(A) =\displaystyle\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\cdot \det(A_{ij})\cdot a_{ij}\)

• Développement par rapport à la ligne \(i \) :

\(\det(A) =\displaystyle\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}\cdot\det(A_{ij})\cdot a_{ij}\)

Calculons le déterminant de la matrice \(A\) en développant par rapport à la première colonne :

\(A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 &1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)\)

On a \(a_{11}=1\) et \(A_{11}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 &1 & 3 \end{array} \right) \), \(a_{21}=0\) et \(A_{21}=\left( \begin{array}{ccc} 0& 3 & 2 \\ 2& 1& 1 \\ 0& 1& 3 \end{array} \right) \), \(a_{31}=2\) et \(A_{31}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 3& 2\\ 1& -1 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{array} \right) \), \(a_{41}=-1\) et \(A_{41}=\left( \begin{array}{ccc} 0& 3& 2\\ 1 & -1 & 0 \\ 2& 1& 1 \end{array} \right)\).

On calcule alors

\(\begin{array}{rcl} \det(A) &=& 1\cdot \det\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 &1 & 3 \end{array} \right) -0\cdot \det\left( \begin{array}{ccc} 0& 3 & 2 \\ 2& 1& 1 \\ 0& 1& 3 \end{array} \right)\\ &&+2\cdot \det\left( \begin{array}{ccc} 0 & 3& 2\\ 1& -1 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{array} \right) -(-1)\cdot \det\left( \begin{array}{ccc} 0& 3& 2\\ 1 & -1 & 0 \\ 2& 1& 1 \end{array} \right) \\[4mm] &=& 1\cdot\left( 1\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} \right) -2\cdot \det\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 3 \end{array} \right)\right)\\ && +2\cdot\left( -1\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right)\right) \\ && -(-1)\cdot\left( -1\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) +2\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \right)\\[4mm] &=& 1\cdot (1\cdot 2- 2\cdot (-3)) +2\cdot( -1)\cdot 7-(-1)(( -1)\cdot 1+2\cdot 2)\\[4mm] &=&8-14+3=-3 \end{array}\)

 

(c) Cas particuliers : les matrices triangulaires

Le calcul du déterminant est plus simple lorsque la matrice a des lignes ou colonnes qui contiennent beaucoup de 0.

Par exemple, la matrice \(A\) est triangulaire supérieure, la matrice \(B\) est triangulaire inférieure et la matrice \(C\) est diagonale.

\(\begin{array}{lll} A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3& 2\\ 0& -1 & 5\\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \hspace{1cm} & B=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0& 0\\ -4& 2 & 0\\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \hspace{1cm} & C=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0& 0\\ 0& 6 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \end{array} \)

 

Dans le cas des matrices triangulaires, le calcul du déterminant devient particulièrement simple.

Dans les exemples ci-dessus, on a

\(\det (A)=1\cdot (-1)\cdot 3=-3 \)

\(\det (B)=1\cdot2\cdot 3=6 \)

\(\det (C)=1\cdot 6\cdot 2=12\)

 

Remarque : Pour calculer le déterminant d'une matrice \(A\) carrée d'ordre \(n\) avec \(n>3 \), on échelonnera d'abord la matrice \(A\).  En effet, si \(A'\) est la matrice échelonnée correspondant à \(A\) , on a

\(A'=E_{k}\ldots E_{2}E_{1}A\)

et donc

\(A=E_{1}^{-1}\ldots E_{k-1}^{-1}E_{k}^{-1}A'\)

et

\(\det(A)=\det(E_{1}^{-1})\cdots \det(E_{k-1}^{-1})\cdot \det(E_{k}^{-1})\cdot \det(A').\)

En vertu des propriétés du déterminant des matrices élémentaires et du résultat ci-dessus, on a \(\det (E_i^{-1})=-1 \), \(1\) ou \(\alpha\) pour tout \(i=1,\ldots k\) et \(\det (A') =\)produit des éléments diagonaux.

Calculons le déterminant de la matrice \(A\) en échelonnant d'abord la matrice.

\(\begin{array}{lll} &A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right) & \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_3 \rightarrow L_3 - 2 \, L_1\\ L_4 \rightarrow L_4+ L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & A_1=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \end{array} \right)\hspace{1cm} &\mbox{ et }\det(A)=1\cdot 1\cdot \det(A_1) \\ {}\\ L_3 \leftrightarrow L_4 \, \hspace{5mm} & A_2=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \end{array} \right)\hspace{1cm} &\mbox{ et }\det(A)=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot \det(A_2) \\ {}\\ L_4 \rightarrow L_4 - 2L_2 \, \hspace{5mm} & A_3=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & -3 & -3 \end{array} \right)\hspace{1cm} &\mbox{ et }\det(A)=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1\cdot \det(A_3) \\ {}\\ L_4 \rightarrow L_4 +\dfrac{3}{4}L_3 \, \hspace{5mm} & A_4=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{3}{4} \end{array} \right)\hspace{1cm} &\mbox{ et }\det(A)=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1\cdot 1\cdot \det(A_4) \end{array} \)

On obtient finalement

\(\det( A )=1\cdot 1\cdot (-1)\cdot 1\cdot 1\cdot \left[ 1\cdot 1\cdot 4\cdot \dfrac{3}{4}\right] =-3.\)

Exemples détaillés

1. Si \(A\) est une matrice de genre (2, 3) et \(B\) une matrice de genre (3, 2), quel est le genre de la matrice \(A\cdot B\) ?

 Solution détaillée : Lorsqu'on multiplie une matrice de genre (m, n) avec une matrice de genre (n, p) , le résultat est une matrice de genre (m, p) . Dans notre cas, le genre de \(A \cdot B\) est donc (2,2) .

 

2. Si \(A\) et \(B\) sont deux matrices de genre (3, 5), quel est le genre de la matrice \(A\cdot B\) ?

Solution détaillée : On ne peut multiplier \(A\) par \(B\) que si le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\). Ici, \(A\) possède 5 colonnes et \(B\) possède 3 lignes, donc on ne peut pas parler du produit \(A\cdot B\).

 

3. Si \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1&-2\\ 0 & 3&1\\ -1&2&4 \end{array} \right)\), \(B=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 2&2\\ 1 & 0&5\\ -1&-1&8 \end{array} \right)\) et \(k=5 \), calculer \(A+B\) et \(k\cdot A \).

Solution détaillée : On a

\(A+B=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1&-2\\ 0 & 3&1\\ -1&2&4 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2&2\\ 1 & 0&5\\ -1&-1&8 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1&0\\ 1 & 3&6 \\ -2&1 &12 \end{array} \right) \)

et

\(k\cdot A=5\cdot\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1&-2\\ 0 & 3&1\\ -1&2&4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 & -5&-10\\ 0 & 15&5\\ -5&10&20 \end{array} \right)\)

 

4. Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -3\\ -1&2 \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1&2\\ 1&0&2 \end{array} \right) .\)  Calculez si possible les produits \(A\cdot B\) et \(B\cdot A \).

Solution détaillée : Lorsqu'on multiplie une matrice de genre (m, n) avec une matrice de genre (n, p) , le résultat est une matrice de genre (m, p). Dans notre cas, le genre de \(A \cdot B\) est (2,3) et le produit \(B\cdot A\) est impossible. On a

\(\begin{array}{rcl} A\cdot B &=&\left( \begin{array}{ccc} 2\cdot 3-3\cdot 1\hspace{4mm} & 2\cdot 1-3\cdot 0\hspace{4mm}&2\cdot 2-3\cdot 2\\ -1\cdot 3+2\cdot 1\hspace{4mm} &-1\cdot 1+2\cdot 0\hspace{4mm} &-1\cdot 2+2\cdot 2 \end{array} \right) \\[4mm] &=&\left( \begin{array}{ccc} 3& 2&-2\\ -1&-1&2 \end{array} \right) \end{array}\)

 

5. Donnez la transposée de la matrice \(B=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1&2\\ 1&0&2 \end{array} \right) .\)

 Solution détaillée : La matrice \(B\) est une matrice de genre (2,3). Sa transposée est la matrice de genre (3,2) obtenue en permutant les lignes et les colonnes de \(B\). On obtient

\(B^t=\left( \begin{array}{cc} 3\hspace{3mm} & 1\\ 1\hspace{3mm} &0\\ 2\hspace{3mm} &2 \end{array} \right)\)

 

6. Donnez la matrice échelonnée correspondant à la matrice \(A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 6 \end{array} \right) .\)

 Solution détaillée :

\(\begin{array}{ll} &A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 6 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_3 \rightarrow L_3 - 2 \, L_1\\ L_4 \rightarrow L_4+ L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} &\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -7 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 7 \end{array} \right) \\ {}\\ L_3 \leftrightarrow L_4 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 7 \\ 0 & 2 & -7 & 1 \end{array} \right) \\ {}\\ L_4 \rightarrow L_4 - 2L_2 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -5 & 1 \end{array} \right) \\ {}\\ L_4 \rightarrow L_4 +L_3 \, \hspace{5mm} &\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 &8 \end{array} \right) \end{array}\)

 

7. Quel est le rang de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ -4 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \end{array} \right)\) ?

 Solution détaillée : Pour calculer le rang d'une matrice, il suffit de l'échelonner.

\(\begin{array}{ll} &\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ -4 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2 + 2L_1\\ L_3 \rightarrow L_3 + L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array}\)

La matrice échelonnée possède une seule ligne non-nulle, le rang de la matrice initiale est donc égal à 1.

 

8. Quel est le rang de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 4 & 2 \\ 1 & -4 & 10 \end{array} \right)\) ?

Solution détaillée : Pour calculer le rang d'une matrice, il suffit de l'échelonner.

\(\begin{array}{ll} &\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 4 & 2 \\ 1 & -4 & 10 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2 + 4L_1\\ L_3 \rightarrow L_3 - L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -4 & 14 \\ 0 & -2 & 7 \end{array} \right) \\ {}\\ L_3 \rightarrow L_3 - \dfrac{L_2}{2}\, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array}\)

La matrice échelonnée possède deux lignes non-nulles, le rang de la matrice initiale est donc égal à 2.

 

9. Quel est le déterminant de la matrice \(\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & -4 \end{array} \right)\) ?

Solution détaillée : Le déterminant d'une matrice d'ordre 2 de la forme \(\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) est \(ad - bc \).

Le déterminant de la matrice \(\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & -4 \end{array} \right)\) est donc \(3\cdot (-4) - 1\cdot(-2) = -10 \).

 

10. Quel est le déterminant de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{array} \right)\) ?

 Solution détaillée : Pour calculer le déterminant d'une matrice, on peut directement utiliser la définition en faisant un développement par rapport à la première colonne :

\(\begin{array}{rcl} \det(A) &=& 0\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) -0\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 0& 2 \\ 0& 0 \end{array} \right) +4\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 0 & 2\\ 3 & 0 \end{array} \right) \\[4mm] &=& 4\cdot (0\cdot 0- 3\cdot 2) \\[4mm] &=&-24 \end{array}\)

Une autre manière de procéder est de commencer par échelonner la matrice :

\(\begin{array}{ll} & A = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ {}\\ L_1 \leftrightarrow L_3 \hspace{0.7cm} & A' = \left(\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \hspace{0.3cm} \text{et } \det(A) = (-1)\cdot \det(A') \end{array}\)

La matrice \(A'\) est échelonnée et donc en particulier triangulaire supérieure. Son déterminant est donc le produit des éléments diagonaux : \(\det(A') = 4\cdot3\cdot2 = 24 \). On en déduit \(\det(A) = -24 \).

 

11. Quel est l'inverse de la matrice \(\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{array} \right)\) ?

Solution détaillée : L'inverse d'une matrice d'ordre 2 de la forme \(A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) est la matrice

\(\dfrac{1}{\det(A)}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \ \text{ où } \ \det(A) = ad-bc.\)

Pour \(A = \left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{array} \right) \), on a \(\det(A) = 2\cdot 1 - (-1)\cdot(-3) = -1\) et donc

\(A^{-1} = \dfrac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -3 & -2 \end{array} \right).\)

 

12. Quel est l'inverse de la matrice \(\left(\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \) ?

Solution détaillée : L'inverse d'une matrice d'ordre 2 de la forme \(A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) est la matrice

\(\dfrac{1}{\det(A)}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)\)

pourvu que \(\det(A)= ad-bc \) soit non-nul.

Pour \(A = \left(\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \), on a \(\det(A) = 2\cdot 2 - (-4)\cdot(-1) = 0\) et donc \(A\) n'est pas inversible.

 

13. Quel est l'inverse de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\) ?

 Solution détaillée : Pour calculer l'inverse d'une matrice, on utilise la méthode de la matrice compagnon. On a ici

\(\begin{array}{ll} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1\, \, &\, \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2\, \, &\, \, 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\, \, &\, \, 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \to L_2 - 2L_3 \\ L_1 \to L_1 - L_3 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 0\, \, &\, \, 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\, \, &\, \, 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\, \, &\, \, 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_1 \to L_1 + 3L_2 \\ L_2 \to -L_2 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0\, \, &\, \, 1 & 3 & -7 \\ 0 & 1 & 0\, \, &\, \, 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\, \, &\, \, 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}\)

 

L'inverse de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\) est donc \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -7 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \).