Théorie du module : Trigonométrie

Equations trigonométriques

Définition - Une équation trigonométrique est une équation où l'inconnue intervient dans l'expression d'un sinus, d'un cosinus, d'une tangente ou d'une cotangente.

(a) Equations fondamentales

Cherchons tous les angles \(x\) tels que \(\sin x = m\)\(m \in [-1,1]\)

Soit \(\alpha\) une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles supplémentaires ont même sinus. Donc, si \(\alpha\) est une solution, alors l'ensemble des solutions est

\(S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = (\pi - \alpha)+2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.\)

 

Cherchons tous les angles \(x\) tels que \(\cos x = m\) où \(m \in [-1,1]\).

Soit \(\alpha\) une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles opposés ont même cosinus. Donc, si \(\alpha\) est une solution, alors l'ensemble des solutions est

\(S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = - \alpha +2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.\)

 

Cherchons tous les angles \(x\) tels que  \(tg\,{x}= m\) où \(m \in \mathbb{R}\).

Soit \(\alpha\) une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles anti-supplémentaires ont même tangente. Donc, si \(\alpha\) est une solution, alors l'ensemble des solutions est

\(S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = (\pi + \alpha) +2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}\)

ou encore

\(S=\{ x~: x= \alpha + k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.\)

 

Par exemple, on cherche tous les angles \(x\) tels que \(\sin x = {1\over 2}\). Une solution est \(x = {\pi \over 6}\).

L'ensemble des solutions est

\(S= \left\{ \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi, \, \dfrac{5\pi}{6} +2k\pi;\, k\in \mathbb{Z} \right\}.\)

 

Cherchons tous les angles \(x\) tels que \(tg\,{x} = -1\).  Une solution est \(x = -{\pi \over 4}\).

L'ensemble des solutions est

\(S= \left\{ -\dfrac{\pi}{4} + k\pi;\, k \in \mathbb{Z} \right\}.\)

 

(b) Equations élémentaires

Cherchons tous les angles \(x\) tels que \(\sin x = \sin \alpha\).

Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont le même sinus s'ils sont égaux (à \(2k\pi\)-près) ou s'ils sont supplémentaires (à \(2k\pi\)-près). L'ensemble des solutions est donc

\(S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = (\pi - \alpha) +2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.\)

 

Cherchons tous les angles \(x\) tels que \(\cos x = \cos \alpha\).

Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont le même cosinus s'ils sont égaux (à \(2k\pi\)-près) ou s'ils sont opposés (à \(2k\pi\)-près). L'ensemble des solutions est donc

\(S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = - \alpha +2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.\)

 

Cherchons tous les angles \(x\) tels que \(tg\, x = tg\, \alpha\).

Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont la même tangente s'ils sont égaux (à \(2k\pi\)-près) ou s'ils sont anti-supplémentaires (à \(2k\pi\)-près). L'ensemble des solutions est donc

\(S= \{ x~: x= \alpha + 2k\pi \ \ {\rm ou }\ \ x = (\pi + \alpha) +2k\pi; k\in \mathbb{Z} \}\)

c'est-à-dire

\(S= \{ x~: x= \alpha + k\pi; k\in \mathbb{Z} \}.\)

 

Par exemple, résolvons l'équation \(\sin{(3x+20^{\circ})} = \sin{(x+50^{\circ})}\). Il faut que

\(\begin{array}{lcl} 3x+20^{\circ}=x+50^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}&\mbox{ ou }&3x+20^{\circ}=180^{\circ}-(x+50^{\circ})+k\cdot 360^{\circ}\\ 2x=30^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}&\mbox{ ou }&4x=110^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}\\ x=15^{\circ}+k\cdot 180^{\circ}&\mbox{ ou }&x=27^{\circ}30'+k\cdot 90^{\circ}\\ \end{array}\)

L'ensemble des solutions est donc

\(S= \{15^{\circ}+k\cdot 180^{\circ},\, 27^{\circ}30'+k\cdot 90^{\circ};\, k\in \mathbb{Z} \}.\)

 

Résolvons l'équation \(\cos{(x+\frac{\pi}{2})} = \cos{(3x)}\).  Il faut que

\(\begin{array}{lcl} x+\dfrac{\pi}{2}=3x+2k\pi&\mbox{ ou }&x+\dfrac{\pi}{2}=-3x+2k\pi\\ -2x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi&\mbox{ ou }&4x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\\ x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi&\mbox{ ou }&x=-\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}\\ \end{array}\)

L'ensemble des solutions est donc

\(S= \left\{\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\, -\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2};\, k\in \mathbb{Z} \right\}.\)

 

(c) Equations générales

Si l'équation est plus générale, on utilise les propriétés des nombres trigonométriques pour se ramener à une équation fondamentale ou élémentaire.

Par exemple, cherchons tous les angles \(x\) tels que \(\sin{(x+\frac{\pi}{3})} = \cos{(2x)}\).  On peut récrire cette équation

\(\cos{(\frac{\pi}{2}-(x+\frac{\pi}{3}))} = \cos{(2x)}\)

ou encore

\(\cos{(\frac{\pi}{6}-x)} = \cos{(2x)}.\)

Il faut donc que

\(\begin{array}{lcl} \dfrac{\pi}{6}-x=2x+2k\pi&\mbox{ ou }&\dfrac{\pi}{6}-x=-2x+2k\pi\\ -3x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi&\mbox{ ou }&x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\ x=\dfrac{\pi}{18}+2k\dfrac{\pi}{3}&\mbox{ ou }&x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\\ \end{array}\)

L'ensemble des solutions est donc

\(S= \left\{\dfrac{\pi}{18}+k\dfrac{2\pi}{3},\, -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi;\, k\in \mathbb{Z} \right\}.\)

 

Dans le cas d'une équation du second degré, on commencera par faire un changement de variable pour se ramener à une équation du second degré classique que l'on résoud. On est alors ramené à une équation fondamentale ou élémentaire.

Pour plus de détails concernant la résolution des équations du second degré, cliquez ici.

Par exemple, cherchons tous les angles \(x\) tels que \(2\sin^2{x}-\sin{x}=1\).

Posons \(t=\sin{x}\). L'équation peut se récrire \(2t^2-t-1=0\). Les racines de cette équation sont \(t=1\) et \(t=-\frac{1}{2}\).

  • Si \(t=\sin{x}=1\) alors \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\, k\in\mathbb{Z}\).
  • Si \(t=\sin{x}=-\frac{1}{2}\) alors \(x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\frac{1\mbox{} 1\pi}{6}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Les solutions de cette équation sont donc

\(S=\left\{\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\, \dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\, \dfrac{11\pi}{6}+2k\pi;\, k\in\mathbb{Z}\right\}.\)

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