Théorie du module : Égalités
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Par exemple, \(2x-10=-3x\) est une équation où \(x\) est l'inconnue. Le nombre \(x=2\) est solution de l'équation car si on remplace \(x\) par \(2\) on obtient l'égalité \(-6=-6\).
On déduit des propriétés des égalités les propriétés suivantes qui vont nous permettre de résoudre des équations, c'est-à-dire en trouver les solutions.
Si \(A\), \(B\), \(C\) sont des expressions contenant ou non des inconnues et \(m\) est un nombre réel, alors
- Lorsqu'on rajoute ou retranche une même quantité aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente à la première :
- les équations \(A=B\) et \(A+C=B+C\) sont équivalentes;
- les équations \(A=B\) et \(A-C=B-C\) sont équivalentes.
Par exemple, les équations \(2x-7=3\) et \(2x=10\) sont équivalentes et les équations \(3x+6=10\)et \(3x=4\) sont équivalentes.
- Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une équation par une même quantité différente de \(0\), on obtient une équation équivalente à la première :
- les équations \(A=B\) et \(A\cdot m=B\cdot m\) avec \(m \neq 0\) sont équivalentes;
- les équations \(A=B\) et \(\frac{A}{m}=\frac{B}{m}\) avec \(m \neq 0\) sont équivalentes.
Par exemple, les équations \(\frac{1}{2}x+6=\frac{3}{2} +2x\) et \(x+12=3+4x\) sont équivalentes et les équations \(2x=10\) et \(x=5\) sont équivalentes.
- Les solutions de l'équation \(A\cdot B =0\) sont les solutions de l'équation \(A=0\) ainsi que de celles de l'équation \(B=0\) : l'équation \(A\cdot B=0\) se dissocie donc en \((A=0\) ou \(B=0)\).
Par exemple, pour que \((x-3)(x+2)=0\), il suffit que \(x-3=0\) ou que \(x+2=0\).
- Les solutions de l'équation \(\displaystyle \frac{A}{B} =0\) sont les solutions de l'équation \(A=0\) et qui ne sont pas solution de l'équation \(B=0\) : l'équation \(\displaystyle \frac{A}{B} =0\) se dissocie donc en \((A=0\) et \(B\neq 0)\).
Par exemple, pour que \(\frac{(x-4)(x^2-1)}{x-1}=0\) il suffit que \((x-4)(x^2-1)=0\) mais avec \(x-1\neq 0\).
Remarque : Pour obtenir une expression du type \(A\cdot B=0\), il est parfois nécessaire de factoriser les expressions apparaissant dans les deux membres de l'égalité.
Méthode de résolution -- Pour résoudre une équation :
- Mettre tous les termes dans un membre et égaler le second membre à \(0\).
- Utiliser les propriétés ci-dessus pour isoler l'inconnue.
La solution est un ensemble de nombres réels. Cet ensemble peut être vide.
(a) Equation du premier degré
L'équation \(ax+b=0\) \((a\neq 0)\) est une équation du premier degré. Cette équation a une seule solution \(x=-\frac{b}{a}\). L'ensemble des solutions de cette équation sera donc noté \(S=\{-\frac{b}{a}\}\). Le nombre \(x=-\frac{b}{a}\) est aussi appelé racine de l'expression \(ax+b\).
Par exemple, l'équation \(2x-4=0\) a une seule solution \(x=2\). On notera \(S=\{2\}\).
(b) Equation du second degré
L'équation \(ax^2+bx+c=0\) \((a\neq 0)\) est une équation du second degré. Cette équation a zéro, une ou deux solutions dans \(\mathbb{R}\). Ces solutions sont données par
- \(S=\left\{\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right\}\) si \(b^2-4ac>0\)
- \(S=\left\{\dfrac{-b}{2a}\right\}\) si \(b^2-4ac=0\)
- \(S=\emptyset\) si \( b^2-4ac<0\)
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.
Par exemple, l'équation \(3x^2-3x-18=0\) a deux solutions \(x_1=\frac{3+\sqrt{225}}{6}=3\) et \(x_2=\frac{3-\sqrt{225}}{6}=-2\). On notera \(S=\{-2,\, 3\}\).
L'équation \(4x^2-8x+4=0\) a une solution \(x=\frac{8+\sqrt{0}}{8}=1\). On notera \(S=\{1\}\).
L'équation \(x^2-2x+6=0\) n'a pas de solution car \(b^2-4ac=-20<0\). On notera \(S=\emptyset\).
Remarque : Toute équation \(ax^2+bx+c=0\) avec \(b^2-4ac>0\) admet deux solutions distinctes \(x_1\) et \(x_2\) telles que \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) et \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\).
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.
Par exemple, l'équation \(2x^2+8x+6=0\) a deux solutions \(x_1=\frac{-8+\sqrt{16}}{4}=-1\) et \(x_2=\frac{-8-\sqrt{16}}{4}=-3\). Ces solutions sont telles que \(x_1+x_2=-4=-\frac{8}{2}\) et \(x_1\cdot x_2=3=\frac{6}{2}\). Pour trouver les solutions de cette équation, on aurait donc pu se poser la question suivante : trouver deux nombres dont la somme vaut \(-\frac{b}{a}=-4\) et le produit vaut \(\frac{c}{a}=3\). Ces deux nombres sont \(-1\) et \(-3\).