Théorie du module : Trigonométrie
Table des matières
- Angles
- Nombres trigonométriques
- Règle des sinus et Règle des cosinus
- Equations trigonométriques
- Exemples détaillés
Angles
(a) Définitions
points sur les côtés, on parlera de l'angle \(\widehat{AOB}\).
Un angle est souvent désigné par une lettre grecque minuscule telle \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) ou \(\theta\).
La mesure d'un angle s'exprime soit en degrés, soit en radians. Un angle de \(1\) degré correspond à \(\frac{1}{360}\) d'une rotation d'un tour complet dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. La mesure d'un angle \(\alpha\), ou amplitude de l'angle, est la mesure de longueur \(s\) de l'arc \(AB\) (où \(A\) et \(B\) se trouvent sur le cercle unité centré en \(O\)).
Lorsque \(s=1\), on dira que \(\alpha\) mesure \(1\) radian. Puisque la longueur du cercle unité est \(2\pi\), on obtient la correspondance suivante entre degrés et radians :
\begin{array}{c} 360^\circ=2\pi\mbox{ radians }\\ 1\mbox{ radian } = \displaystyle\frac{360^\circ}{2 \pi}= 57^\circ 17' 45''\dots \\ 1\mbox{ degré }= \displaystyle\frac{2 \pi }{360}\mbox{ radians } = 0,01745 \mbox{ radians} \end{array}
Un angle est aigu si son amplitude est inférieure à \(90^{\circ}\). Un angle droit est un angle dont l'amplitude est \(90^{\circ}\). Un angle est obtu si son amplitude est entre \(90^{\circ}\) et \(180^{\circ}\). Un angle plat est un angle dont l'amplitude est \(180^{\circ}\).
Deux angles ayant même amplitude sont dits congruents. Deux angles sont équivalents si la différence d'amplitude de ces angles est un multiple de \(360^\circ = 2\pi\) radians.
Des angles sont complémentaires si la somme de leurs amplitudes vaut \(90^{\circ}\). Des angles sont supplémentaires si la somme de leurs amplitudes vaut \(180^{\circ}\). Deux angles dont la différence des amplitudes vaut \(180^\circ\) sont dits anti-supplémentaires. Deux angles sont opposés si la somme de leurs amplitudes vaut \(0^{\circ}\).
Par exemple, si l'angle \(\alpha=30^{\circ}\) alors l'angle \(60^{\circ}\) est le complémentaire de \(\alpha\), l'angle \(150^{\circ}\) est le supplémentaire de \(\alpha\), l'angle \(210^{\circ}\) est l'anti-supplémentaire de \(\alpha\). L'angle \(-30^{\circ}\) est l'opposé de \(\alpha\) et l'angle \(750^{\circ}\) est équivalent à \(\alpha\).
(b) Positions relatives de deux angles
Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet et un côté commun. Dans la figure ci-dessous, les angles \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{BOC}\) sont adjacents.
Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont même sommet et si leurs côtés sont les prolongements respectifs l'un de l'autre. Dans la figure ci-dessous, les angles \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{DOC}\) sont opposés par le sommet, ainsi que les angles \(\widehat{AOD}\) et \(\widehat{BOC}\).
Considérons deux droites parallèles \(d_1\) et \(d_2\) coupées par une droite \(d_3\). Soit \(A\) le point d'intersection de \(d_1\) et \(d_3\) et \(B\) le point d'intersection de \(d_2\) et \(d_3\).
Deux angles sont correspondants s'ils n'ont pas le même sommet et se trouvent du même côté de la droite \(d_3\) et du même côté respectivement de la droite \(d_1\) et de la droite \(d_2\).
Par exemple, les angles \(\widehat{A_1}\) et \(\widehat{B_1}\) sont correspondants, les angles \(\widehat{A_2}\) et \(\widehat{B_2}\) sont correspondants, les angles \(\widehat{A_3}\) et \(\widehat{B_3}\) sont correspondants et les angles \(\widehat{A_4}\) et \(\widehat{B_4}\) sont correspondants.
Deux angles sont alternes internes s'ils n'ont pas le même sommet et se trouvent de part et d'autre de la droite \(d_3\) et entre les droites \(d_1\) et \(d_2\).
Par exemple, les angles \(\widehat{A_4}\) et \(\widehat{B_2}\) sont alternes internes. Et les angles \(\widehat{A_3}\) et \(\widehat{B_1}\) sont alternes internes.
Deux angles sont alternes externes s'ils n'ont pas le même sommet et se trouvent de part et d'autre de la droite \(d_3\) et à l'extérieur des droites \(d_1\) et \(d_2\).
Par exemple, les angles \(\widehat{A_1}\) et \(\widehat{B_3}\) sont alternes externes. Et les angles \(\widehat{A_2}\) et \(\widehat{B_4}\) sont alternes externes.
Propriétés
Deux angles correspondants ont même amplitude.
Deux angles alternes internes ont même amplitude.
Deux angles alternes externes ont même amplitude.
(c) Angles et cercles
On considère un cercle de centre \(O\) et \(A\), \(B\), \(C\) trois points de ce cercle.
Un angle est inscrit dans un cercle si son sommet est un point du cercle et si ses deux côtés coupent le cercle en un deuxième point.
Par exemple, dans la figure ci-dessus, l'angle \(\widehat{ACB}\) est inscrit dans le cercle. Cet angle intercepte l'arc \(AB\).
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.
Dans le cas particulier où l'angle inscrit dans un cercle intercepte un diamètre, on a le résultat suivant.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.
Un angle au centre d'un cercle a le centre de ce cercle comme sommet.
Par exemple, dans la figure ci-dessus, l'angle \(\widehat{AOB}\) est un angle au centre. Cet angle intercepte l'arc \(AB\).
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.
Par exemple, dans la figure ci-dessus, l'amplitude de l'angle \(\widehat{AOB}\) vaut le double de l'amplitude de l'angle \(\widehat{ACB}\).