Théorie du module : Nombres complexes

Equations du deuxième degré

Nous avons vu ici comment résoudre une équation du second degré dans \(\mathbb{R}\).  Une telle équation n'aura pas de solution si \(\Delta=b^2-4ac<0\).  Dans \(\mathbb{C}\), la racine carrée d'un nombre négatif existe.  Une équation du second degré aura donc toujours deux solutions (distinctes ou non).

Pour trouver les solutions de l'équation \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a,\, b,\, c\in\mathbb{C}\), on calcule \(\Delta=b^2-4ac\) et on a

\(S=\left\{\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}.\)

 

Par exemple, cherchons les solutions de l'équation \(x^2-x+2=0\).  On calcule \(\Delta=1-8=-7=7i^2\) et donc cette équation a deux solutions dans \(\mathbb{C}\) :

\(x_1=\dfrac{1+i\sqrt{7}}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{7}}{2}i\hspace{1cm}\mbox{ et }\hspace{1cm}x_2=\dfrac{1-i\sqrt{7}}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{7}}{2}i.\)

Cherchons les solutions de l'équation \(2ix^2-(1+2i)x+i-1=0\). On calcule

\(\Delta=(1+2i)^2-8i(i-1)=1+4i-4+8+8i=5+12i\). 

On a vu ci-dessus que le nombre complexe \(5+12i\) a deux racines opposées \(3+2i\) et \(-3-2i\).  On en déduit les deux solutions de l'équation de départ

\(x_1=\dfrac{1+2i+3+2i}{4i} =\dfrac{1+i}{i} =\dfrac{(1+i)(-i)}{i(-i)} =1-i\)

et

\(x_2=\dfrac{1+2i-3-2i}{4i} =\dfrac{-2}{4i} =\dfrac{-1}{2i} =\dfrac{i}{2}.\)