Théorie du module : Calcul matriciel

Exemples détaillés

1. Si \(A\) est une matrice de genre (2, 3) et \(B\) une matrice de genre (3, 2), quel est le genre de la matrice \(A\cdot B\) ?

 Solution détaillée : Lorsqu'on multiplie une matrice de genre (m, n) avec une matrice de genre (n, p) , le résultat est une matrice de genre (m, p) . Dans notre cas, le genre de \(A \cdot B\) est donc (2,2) .

 

2. Si \(A\) et \(B\) sont deux matrices de genre (3, 5), quel est le genre de la matrice \(A\cdot B\) ?

Solution détaillée : On ne peut multiplier \(A\) par \(B\) que si le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\). Ici, \(A\) possède 5 colonnes et \(B\) possède 3 lignes, donc on ne peut pas parler du produit \(A\cdot B\).

 

3. Si \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1&-2\\ 0 & 3&1\\ -1&2&4 \end{array} \right)\), \(B=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 2&2\\ 1 & 0&5\\ -1&-1&8 \end{array} \right)\) et \(k=5 \), calculer \(A+B\) et \(k\cdot A \).

Solution détaillée : On a

\(A+B=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1&-2\\ 0 & 3&1\\ -1&2&4 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2&2\\ 1 & 0&5\\ -1&-1&8 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1&0\\ 1 & 3&6 \\ -2&1 &12 \end{array} \right) \)

et

\(k\cdot A=5\cdot\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1&-2\\ 0 & 3&1\\ -1&2&4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 & -5&-10\\ 0 & 15&5\\ -5&10&20 \end{array} \right)\)

 

4. Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -3\\ -1&2 \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1&2\\ 1&0&2 \end{array} \right) .\)  Calculez si possible les produits \(A\cdot B\) et \(B\cdot A \).

Solution détaillée : Lorsqu'on multiplie une matrice de genre (m, n) avec une matrice de genre (n, p) , le résultat est une matrice de genre (m, p). Dans notre cas, le genre de \(A \cdot B\) est (2,3) et le produit \(B\cdot A\) est impossible. On a

\(\begin{array}{rcl} A\cdot B &=&\left( \begin{array}{ccc} 2\cdot 3-3\cdot 1\hspace{4mm} & 2\cdot 1-3\cdot 0\hspace{4mm}&2\cdot 2-3\cdot 2\\ -1\cdot 3+2\cdot 1\hspace{4mm} &-1\cdot 1+2\cdot 0\hspace{4mm} &-1\cdot 2+2\cdot 2 \end{array} \right) \\[4mm] &=&\left( \begin{array}{ccc} 3& 2&-2\\ -1&-1&2 \end{array} \right) \end{array}\)

 

5. Donnez la transposée de la matrice \(B=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1&2\\ 1&0&2 \end{array} \right) .\)

 Solution détaillée : La matrice \(B\) est une matrice de genre (2,3). Sa transposée est la matrice de genre (3,2) obtenue en permutant les lignes et les colonnes de \(B\). On obtient

\(B^t=\left( \begin{array}{cc} 3\hspace{3mm} & 1\\ 1\hspace{3mm} &0\\ 2\hspace{3mm} &2 \end{array} \right)\)

 

6. Donnez la matrice échelonnée correspondant à la matrice \(A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 6 \end{array} \right) .\)

 Solution détaillée :

\(\begin{array}{ll} &A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 6 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_3 \rightarrow L_3 - 2 \, L_1\\ L_4 \rightarrow L_4+ L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} &\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -7 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 7 \end{array} \right) \\ {}\\ L_3 \leftrightarrow L_4 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 7 \\ 0 & 2 & -7 & 1 \end{array} \right) \\ {}\\ L_4 \rightarrow L_4 - 2L_2 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & -5 & 1 \end{array} \right) \\ {}\\ L_4 \rightarrow L_4 +L_3 \, \hspace{5mm} &\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 &8 \end{array} \right) \end{array}\)

 

7. Quel est le rang de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ -4 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \end{array} \right)\) ?

 Solution détaillée : Pour calculer le rang d'une matrice, il suffit de l'échelonner.

\(\begin{array}{ll} &\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ -4 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2 + 2L_1\\ L_3 \rightarrow L_3 + L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array}\)

La matrice échelonnée possède une seule ligne non-nulle, le rang de la matrice initiale est donc égal à 1.

 

8. Quel est le rang de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 4 & 2 \\ 1 & -4 & 10 \end{array} \right)\) ?

Solution détaillée : Pour calculer le rang d'une matrice, il suffit de l'échelonner.

\(\begin{array}{ll} &\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ -4 & 4 & 2 \\ 1 & -4 & 10 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2 + 4L_1\\ L_3 \rightarrow L_3 - L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -4 & 14 \\ 0 & -2 & 7 \end{array} \right) \\ {}\\ L_3 \rightarrow L_3 - \dfrac{L_2}{2}\, \hspace{5mm} &\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array}\)

La matrice échelonnée possède deux lignes non-nulles, le rang de la matrice initiale est donc égal à 2.

 

9. Quel est le déterminant de la matrice \(\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & -4 \end{array} \right)\) ?

Solution détaillée : Le déterminant d'une matrice d'ordre 2 de la forme \(\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) est \(ad - bc \).

Le déterminant de la matrice \(\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & -4 \end{array} \right)\) est donc \(3\cdot (-4) - 1\cdot(-2) = -10 \).

 

10. Quel est le déterminant de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{array} \right)\) ?

 Solution détaillée : Pour calculer le déterminant d'une matrice, on peut directement utiliser la définition en faisant un développement par rapport à la première colonne :

\(\begin{array}{rcl} \det(A) &=& 0\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) -0\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 0& 2 \\ 0& 0 \end{array} \right) +4\cdot \det\left( \begin{array}{cc} 0 & 2\\ 3 & 0 \end{array} \right) \\[4mm] &=& 4\cdot (0\cdot 0- 3\cdot 2) \\[4mm] &=&-24 \end{array}\)

Une autre manière de procéder est de commencer par échelonner la matrice :

\(\begin{array}{ll} & A = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ {}\\ L_1 \leftrightarrow L_3 \hspace{0.7cm} & A' = \left(\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right) \hspace{0.3cm} \text{et } \det(A) = (-1)\cdot \det(A') \end{array}\)

La matrice \(A'\) est échelonnée et donc en particulier triangulaire supérieure. Son déterminant est donc le produit des éléments diagonaux : \(\det(A') = 4\cdot3\cdot2 = 24 \). On en déduit \(\det(A) = -24 \).

 

11. Quel est l'inverse de la matrice \(\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{array} \right)\) ?

Solution détaillée : L'inverse d'une matrice d'ordre 2 de la forme \(A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) est la matrice

\(\dfrac{1}{\det(A)}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \ \text{ où } \ \det(A) = ad-bc.\)

Pour \(A = \left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{array} \right) \), on a \(\det(A) = 2\cdot 1 - (-1)\cdot(-3) = -1\) et donc

\(A^{-1} = \dfrac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -3 & -2 \end{array} \right).\)

 

12. Quel est l'inverse de la matrice \(\left(\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \) ?

Solution détaillée : L'inverse d'une matrice d'ordre 2 de la forme \(A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) est la matrice

\(\dfrac{1}{\det(A)}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)\)

pourvu que \(\det(A)= ad-bc \) soit non-nul.

Pour \(A = \left(\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \), on a \(\det(A) = 2\cdot 2 - (-4)\cdot(-1) = 0\) et donc \(A\) n'est pas inversible.

 

13. Quel est l'inverse de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\) ?

 Solution détaillée : Pour calculer l'inverse d'une matrice, on utilise la méthode de la matrice compagnon. On a ici

\(\begin{array}{ll} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 1\, \, &\, \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2\, \, &\, \, 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\, \, &\, \, 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_2 \to L_2 - 2L_3 \\ L_1 \to L_1 - L_3 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 3 & 0\, \, &\, \, 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\, \, &\, \, 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\, \, &\, \, 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_1 \to L_1 + 3L_2 \\ L_2 \to -L_2 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0\, \, &\, \, 1 & 3 & -7 \\ 0 & 1 & 0\, \, &\, \, 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\, \, &\, \, 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{array}\)

 

L'inverse de la matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\) est donc \(\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -7 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \).