Théorie du module : Logarithmes et exponentielles

Fonctions exponentielles

(a) Définition

Nous avons vu que la fonction

\(\ln:\mathbb R^+_0\to\mathbb R:x\mapsto\ln x\)

est une bijection. Ceci implique que pour tout \(a>0\) et \(a\neq 1 \), la fonction

\(\log_a:\mathbb R^+_0\to\mathbb R:x\mapsto\log_ax=\dfrac{\ln x}{\ln a}\)

est également une bijection. La fonction \(\log_a\) a donc une fonction réciproque que nous appellerons fonction exponentielle en base a .

Définition - Soit \(a>0\) et \(a\neq 1 \). La fonction exponentielle en base \(a\), notée \(\exp_a \), est la réciproque de \(\log_a\), c'est-à-dire

\(\exp_a:\mathbb R\to\mathbb R^+_0:x\mapsto\exp_a x,\)

\(y=\exp_a x\quad\iff\quad x=\log_a y.\)

Nous avons donc

\(\forall y\in\mathbb R^+_0:\,\exp_a(\log_a y)=y\)

et

\(\forall x\in\mathbb R:\,\log_a(\exp_a x)=x.\)

Comme nous avons vu dans la Propriété 5 de la fonction \(\log_a{x}\) que pour tout \(x\in\mathbb Q \),

\(\log_a a^x=x\log_a a=x,\)

on peut en conclure que pour tout \(x\in\mathbb Q \),

\(\exp_a x=a^x.\)

Cela parait naturel de ne pas se restreindre aux nombres rationnels, mais d'étendre à tous les nombres réels. Ceci nous permet de définir des puissances à exposant réel.

Définition - Soit \(a>0\) et \(a\neq 1 \). On définit pour tout \(x\in\mathbb R\)

\(a^x=\exp_a x.\)

 (b) Le cas particulier de l'exponentielle en base e

Nous avons vu que \(\ln x=\log_e x \), où \(e\) est un nombre irrationnel et \(e=2.71828\dots \).

La réciproque de \(\ln x\) est donc \(e^x \).

Propriétés :
  1. La fonction \(e^x \) est dérivable pour tout \(x\in\mathbb R\) et sa dérivée est e^x .
  2. Toutes les primitives de \(e^x \) sont de la forme

\(e^x+C,\)

\(C\in\mathbb R\) est une constante arbitraire.

Puisque la fonction \(e^x \) est la réciproque de \(\ln x\) nous savons que

\(f(x)=e^x\iff x=\ln{(f(x))}.\)

  1. Dérivons le membre de gauche et de droite de \(x=\ln{(f(x))}\) : la dérivée du membre de gauche est \((x)'=1 \)et la dérivée du membre de droite est \(\left(\ln{(f(x))}\right)'=f'(x)\ln'{(f(x))}=\dfrac{f'(x)}{f(x)} \).

    En rassemblant les deux, on peut conclure que \(1=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\).

    On peut réécrire cette égalité comme

    \(f(x)=f'(x),\)

    et donc

    \((e^x)'=f'(x)=f(x)=e^x.\)

 

  1. Le calcul la dérivée de \(e^x+C\) nous donne

    \(\left(e^x+C\right)'=e^x+0=e^x.\)

    Les fonctions de la forme \(e^x+C\) sont donc bien des primitives de \(e^x \). Il n'y en a pas d'autres, car les primitives ne diffèrent que d'une constante.

(c) Propriétés de la fonction exponentielle en base a

Voici des propriétés importantes des fonctions exponentielles en base \(a \).

Propriétés : Soit \(a>0\) et \(a\neq 1 \). Pour tout \(x , y\in\mathbb{R} \), on a

  1. \(a^x=e^{x\ln a}.\)
  2. la fonction \(a^x\) est dérivable et \((a^x)'=a^x\ln a \).

  3. \( \displaystyle\left(\dfrac{1}{a}\right)^x=a^{-x}\)

  4.  \(\displaystyle a^{x+y}=a^x\cdot a^y\)

  5. \(\displaystyle\left(a^x\right)^y=a^{xy} \)

En effet,

  1. on a \(\log_a e^{x\ln a}=\dfrac{\ln e^{x\ln a}}{\ln a}=\dfrac{x\ln a}{\ln a}=x.\) Sachant que \(x=\log_a y\) si et seulement si \(y=a^x \), on en déduit \(e^{x\ln a}=a^x \).

 

  1. nous savons que \(a^x=e^{x\ln a} \) et \(\left(e^x\right)'=e^x \). En utilisant la formule de dérivation des fonctions composées, on obtient

    \(\left(a^x\right)'=\left(e^{x\ln a}\right)'=(x\ln a)'e^{x\ln a}=\ln a\cdot e^{x\ln a}=\ln a\cdot a^x=a^x\ln a.\)

 

  1. on a \(x=\log_a a^x \).  Sachant que \(\log_a\dfrac{1}{a}=-1 \), on obtient

\(\log_a\left(\dfrac{1}{a}\right)^x=x\log_a\dfrac{1}{a}=x\cdot (-1)=-x=\log_aa^{-x}.\)

 

Ceci permet de conclure que

\(\left(\dfrac{1}{a}\right)^x=a^{-x}.\)

 

  1. nous savons aussi que \(x+y=\log_a a^{x+y} \) et donc

    \(\log_a a^{x+y}=x+y=\log_a a^x+\log_a a^y=\log_a\left(a^x\cdot a^y)\right.\)

    On peut donc conclure que

    \(a^{x+y}=a^x\cdot a^y.\)

 

  1. Finalement l'utilisation de \(\log_ax^p=p\log_ax\) nous permet d'obtenir

    \(\log_a\left(a^x\right)^y=y\log_a a^x=yx=xy=\log_a a^{xy}.\)

    On en conclut que

    \(\left(a^x\right)^y=a^{xy}.\)

     

(d) Représentation graphique de la fonction exponentielle en base a

Nous allons maintenant analyser le comportement de la fonction \(a^x \), où \(a>0\) et \(a\neq 1 \). Nous savons déjà plusieurs choses utiles pour cette analyse :

  • le domaine de la fonction \(a^x \) est \(\mathbb R \),

  • la dérivée : \(\left(a^x\right)'=a^x\ln a \),

  • des valeurs particulières : \(a^0=1\) et \(a^1=a \).

Comme pour la fonction \(\log_a \), nous allons traiter séparément les cas \(a>1\) et \(0<a<1 \)

Propriétés :

  1. Si \(a>1\), la fonction \(a^x\) est strictement croissante sur tout son domaine.
  2. Si \(a>1\), la fonction \(a^x\) est convexe sur tout son domaine.
  3. Si \(a>1\), le graphique de \(a^x\) n'a pas d'asymptote verticale.
  4. Si \(a>1\), le graphique de \(a^x\) a une asymptote horizontale \(y=0\) en \(-\infty\) et n'a pas d'asymptote horizontale en \(+\infty \).
  5. Si \(a>1\), le graphique de \(a^x\) n'a pas d'asymptote oblique.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Résumons ce que nous savons de ces fonctions dans un tableau : 

  • \(a>1\)

Figure 6 : Graphique de \(2^x \), \(e^x \)\( \log_2 x\) et de \(\ln x \).

 

Propriétés :

  1. Si \(0<a<1 \), la fonction \(a^x\) est strictement décroissante sur tout son domaine.

  2. Si \(0<a<1 \), la fonction \(a^x\) est convexe sur tout son domaine.

  3. Si \(0<a<1 \), le graphique de \(a^x\) n'a pas d'asymptote verticale.

  4. Si \(0<a<1 \), le graphique de \(a^x\) n'a pas d'asymptote horizontale en \(-\infty\) et a une asymptote horizontale \(y=0\) en \(+\infty \).

  5. Si \(0<a<1 \), le graphique de \(a^x\) n'a pas d'asymptote oblique.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Résumons ce que nous savons de ces fonctions dans un tableau : 

  • \(0<a<1\)

Figure 7 : Graphique de \(\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) et de \(\log_{1/2} x \).

 

Le graphique de \(a^x\) est l'image de celui de \(\log_ax\) par la symétrie orthogonale par rapport à la droite \(y=x\) (la première bissectrice).

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