8.  Soit \(x>0 \), nous savons que \((\ln x)'=\dfrac{1}{x}.\)

Si \(x>0 \) alors \(\displaystyle \dfrac{1}{x}>0 \). La dérivée de \( \ln{x}\) est donc toujours strictement positive sur le domaine de \( \ln{x}\), ce qui implique que cette fonction est strictement croissante.

9.  Pour savoir si une fonction est convexe ou concave, on regarde le signe de la deuxième dérivée

\((\ln x)''=\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}.\)

La deuxième dérivée de \( \ln{x}\) est donc toujours strictement négative, ce qui implique que cette fonction est concave.

10. Calculons la limite à droite \(\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\>}} \ln x \). Pour cela nous prenons \(t=\dfrac{1}{x} \).

Si \(x>0 \) et \(x\) tend vers \(0 \), alors \(t=\dfrac{1}{x} \) tend vers \(+\infty \). Nous avons donc que

\(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\>}} \ln x=\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\ln\dfrac{1}{t}=\displaystyle\lim_{t\to+\infty}-\ln t=-\lim_{t\to+\infty}\ln t=-\infty.\)

Le graphique de la fonction \( \ln{x}\) a donc comme asymptote verticale \(x=0 \).

11. Comme \( \ln{x}\) n'est défini que pour \(x>0 \), nous ne devons pas chercher d'asymptote en \(-\infty \).

Nous allons démontrer que \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty \). Nous devons donc montrer que pour tout \(M\in \mathbb R \), il existe un \(k\in \mathbb R \) tel que, si \(x\in\mathbb R^+_0 \) et \(x>k\) alors \(\ln x> M \).

Soit \(M\in\mathbb R \), nous devons trouver un \(k\) tel que si \(x>k\) alors \(\ln x> M \).

Nous savons que \(\ln 2>0\) et donc on peut toujours trouver un \(a\in\mathbb R\) tel que \(\ln 2^a=a\ln 2>M\).  Tout nombre réel \(a \) satisfaisant à \(a>M/\ln 2\) convient. Choisissons maintenant \(k=2^a \). Si \(x>k\), alors on a bien

\(\ln x>\ln 2^a>M\)

car la fonction \( \ln{x}\) est strictement croissante. Le nombre réel \(k=2^a\) convient.  Ceci prouve que le graphique de la fonction \( \ln{x}\) n'a pas d'asymptote horizontale en \(+\infty \).

12. Le graphique de \( \ln{x}\) n'a pas d'asymptote oblique. En effet, afin d'étudier l'existence d'une asymptote oblique, nous devons calculer la limite \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} \), puisque cette limite nous donne la pente de cette asymptote, si elle existe. On peut démontrer (nous ne le ferons pas ici) que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0 \). La pente serait donc \(0 \), ce qui voudrait dire que l'asymptote est horizontale. Or on sait qu'il n'existe pas d'asymptote horizontale. Il n'existe donc pas non plus d'asymptote oblique.

10. Soit \(x>0 \), nous savons que \((\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}.\)

Comme \(a>1 \) on a \(\ln a>0\) et puisque \(x>0 \) on a \(\displaystyle \dfrac{1}{x}>0 \). La dérivée de \(\log_a x\) est donc toujours strictement positive sur le domaine de \(\log_a x\), ce qui implique que cette fonction est strictement croissante.

11. Soit \(x>0 \), nous savons que \((\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}.\)

Comme \(0<a<1 \) on a \(\ln a<0\) et puisque \(x>0 \)on a \(\displaystyle \dfrac{1}{x}>0 \). La dérivée de \(\log_a x\) est donc toujours strictement négative sur le domaine de \(\log_a x\), ce qui implique que cette fonction est strictement décroissante.

12. Pour savoir si une fonction est convexe ou concave, on regarde le signe de la deuxième dérivée

\((\log_a x)''=\left(\dfrac{1}{x\ln a}\right)'=-\dfrac{1}{x^2\ln a}.\)

Comme \(a>1 \) on a \(\ln a>0\). La deuxième dérivée de \(\log_a x\) est toujours strictement négative, ce qui implique que cette fonction est concave.

13. Pour savoir si une fonction est convexe ou concave, on regarde le signe de la deuxième dérivée

\((\log_a x)''=\left(\dfrac{1}{x\ln a}\right)'=-\dfrac{1}{x^2\ln a}.\)

Comme \(0<a<1 \) on a \(\ln a<0\). La deuxième dérivée de \(\log_a x\) est toujours strictement positive, ce qui implique que cette fonction est convexe.

14. Calculons la limite à droite \(\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\>}} \log_a x \). Pour cela nous prenons \(t=\dfrac{1}{x} \).

Si \(x>0 \) et \(x\) tend vers \(0 \), alors \(t=\dfrac{1}{x}\) tend vers \(+\infty \). Nous avons donc que

\(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\>}} \log_a x=\lim_{t\to+\infty}\log_a\dfrac{1}{t}=\lim_{t\to+\infty}-\log_a t=-\lim_{t\to+\infty}\dfrac{\ln t}{\ln a}=-\dfrac{1}{\ln a}\underbrace{\lim_{t\to+\infty}\ln t}_{+\infty}.\)

On en conclut que pour \(a>1 \), \(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\>}} \log_a x=-\infty \) alors que pour \(0<a<1 \), \(\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\>}} \log_a x=+\infty \). Le graphique de \(\log_a x\) a donc comme asymptote verticale \(x=0 \).

15. Comme \(\log_a x\) n'est défini que pour \(x>0 \), nous ne devons pas chercher d'asymptote en \(-\infty \).

On a

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\log_a x=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{\ln a}=\dfrac{1}{\ln a}\underbrace{\lim_{x\to+\infty}\ln x}_{+\infty}.\)

Nous avons donc \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\log_a x=+\infty\) pour \(a>1 \) et \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\log_a x=-\infty\) pour \(0<a<1 \).  Ceci implique qu'il n'y a pas d'asymptote horizontale.

16.  Afin d'étudier l'existence d'une asymptote oblique, nous devons calculer la limite \( \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log_a x}{x} \), car si l'asymptote oblique existe, cette limite nous donne la pente de cette asymptote.

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\log_a x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x\ln a}=\dfrac{1}{\ln a}\underbrace{\dfrac{\ln x}{x}}_{=0}= \dfrac{1}{\ln a}\cdot 0=0.\)

La pente serait donc \(0 \), mais cela voudrait dire que l'asymptote est horizontale, or on sait qu'il n'existe pas d'asymptote horizontale.  Il n'existe donc pas non plus d'asymptote oblique.

6. Nous savons que \(\left(a^x\right)'=a^x\ln a.\)  Vu que \(a>1 \) on a \(\ln a>0\) et \(a^x>0\) pour tout \(x\in\mathbb R \). La dérivée est donc strictement positive sur tout \(\mathbb R \). Ceci implique que la fonction \(a^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb R \).
7. Pour déterminer si la fonction est convexe, on regarde le signe de la deuxième dérivée. On a

\(\left(a^x\right)''=\left(a^x\ln a\right)'=a^x(\ln a)^2.\)

Etant donné que \((\ln a)^2>0\) et que \(a^x>0\) sur tout \(\mathbb R \), la deuxième dérivée est strictement positive sur tout \(\mathbb R \). On peut donc en conclure que la fonction \(a^x\) est convexe sur \(\mathbb R \).

8. Si \(a>1 \), le graphique de \(a^x\) n'a pas d'asymptote verticale puisque le domaine de la fonction\(a^x\) est \(\mathbb R \).
9. Nous allons d'abord démontrer que \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty\) pour tout \(a>1 \). Nous devons donc montrer que pour tout \(M\in \mathbb R \), il existe un \(k\in \mathbb R \) tel que, si \(x\in\mathbb R\) et \(x>k\) alors \(a^x> M \).

Soit \(M\in \mathbb R\) fixé et prenons \(k=\log_a M \). La fonction \(a^x\) étant strictement croissante, nous obtenons pour \(x>k\)

\(a^x>a^k=a^{\log_a M}=M\)

et donc \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty\) pour tout \(a>1 \). Il n'y a donc pas d'asymptote horizontale en \(+\infty \).

Considérons maintenant \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x\) pour tout \(a>1 \). On a

\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x=\lim_{x\to-\infty}(a^{(-x)})^{-1}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{a^{-x}}.\)

Prenons \(t=-x \). Si \(x\) tend vers \(-\infty \), alors \(t\) tend vers \(+\infty \), ce qui nous donne

\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{1}{a^t}=0.\)

Nous pouvons donc conclure que la fonction \(a^x\) possède une asymptote \(y=0\) en \(-\infty \).

10. Vu que \(a^x\) a une asymptote horizontale en \(-\infty \), il n'y a pas d'asymptote oblique en \(-\infty \).

En \(+\infty \), on peut montrer (nous ne le ferons pas ici) que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{a^x}{x}=+\infty .\)

11. Nous savons que \(\left(a^x\right)'=a^x\ln a.\)  Vu que \(0<a<1\) on a \(\ln a<0 \) et \(a^x>0\) pour tout \(x\in\mathbb R \). La dérivée est donc strictement négative sur tout \(\mathbb R \). Ceci implique que la fonction \(a^x\) est strictement décroissante sur  \(\mathbb R \).
12. Pour déterminer si la fonction est convexe, on regarde le signe de la deuxième dérivée. On a

\(\left(a^x\right)''=\left(a^x\ln a\right)'=a^x(\ln a)^2.\)

Etant donné que \((\ln a)^2>0\) et que \(a^x>0\) sur tout \(\mathbb R \), la deuxième dérivée est strictement positive sur tout \(\mathbb R \).  On peut donc en conclure que la fonction \(a^x\) est convexe sur \(\mathbb R \).

13. Si \(0<a<1\), le graphique de \(a^x\) n'a pas d'asymptote verticale puisque le domaine de la fonction \(a^x\) est \(\mathbb R \).
14. Calculons la limite \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} a^x \). Nous allons utiliser un résultat obtenu pour \(a>1 \). Si \(0<a<1\) alors \(1/a>1\) et

\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-x}.\)

Prenons \(t=-x \), la limite devient

\(\displaystyle \lim_{t\to+\infty}\left(\dfrac{1}{a}\right)^t=+\infty,\)

où nous avons utilisé le résultat obtenu dans la démonstration du point 9.

Considérons maintenant la limite \( \displaystyle\lim_{x\to -\infty} a^x\) et calculons la de manière analogue à la limite précédente :

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} a^x=\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-x}=\lim_{t\to-\infty}\left(\dfrac{1}{a}\right)^t=0.\)

Nous avons donc une asymptote \(y=0\) en \(+\infty \).

15. Vu que \(a^x\) a une asymptote horizontale en \(+\infty \), il n'y a pas d'asymptote oblique en \(+\infty \).

En \(-\infty \), on peut montrer (nous ne le ferons pas ici) que \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{a^x}{x}=-\infty \).