Théorie du module : Logarithmes et exponentielles

Exemples détaillés

1. Sachant que \(\ln 2=0,693 \), \(\ln 3=1,099 \), \(\ln 5=1,609 \), calculer \(\ln 90 \).

Solution détaillée : On a

\(\begin{array}{rcl} \ln 90&=&\ln\left(3^2\cdot2\cdot 5\right)=\ln 3^2+\ln 2+\ln5\\ &=&2\ln 3+\ln 2+\ln 5\\ &=&2\cdot 1,099+0,693+1,609=4,5 \end{array}\)

 

2. Transformer de manière à ce qu'il ne reste plus de logarithme dans l'expression \(\log_8\sqrt{2} \).

Solution détaillée : En utilisant les propriétés des logarithmes, on a

\(\log_8\sqrt{2}=\log_82^{1/2}=\dfrac{1}{2}\log_82=\dfrac{1}{2}\log_8(8)^{1/3}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\log_88=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 1=\dfrac{1}{6}.\)

 

3. Déterminer le domaine et la dérivée de la fonction \(f(x)=\ln{(\sin x)} \).

Solution détaillée : La fonction \(\ln x\) n'est définie que pour \(x>0 \). La fonction \(\ln(\sin x)\) n'est donc définie que pour\( \sin x>0 \). Or

\(\sin x=0\iff x=k\pi,\quad\forall k\in\mathbb Z.\)

Nous avons que

\(\sin x>0\text{ si } 0<x<\pi\quad\text{et}\quad \sin x<0\text{ si }\pi<x<2\pi.\)

La fonction \(\sin x\) étant \(2\pi \)-périodique : \(\sin x>0 \iff 2k\pi<x<(2k+1)\pi , \forall k\in\mathbb Z \). Le domaine est donc

\(\displaystyle\bigcup_{k\in\mathbb Z}]2k\pi;(2k+1)\pi[\, .\)

On calcule en utilisant la formule de dérivation des fonctions composées

\(\left(\ln(\sin x)\right)'=(\sin x)'\ln'(\sin x)=\cos x\cdot \dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}=cotg\, x.\)

 

4. Déterminer le domaine et la dérivée de la fonction \(f(x)=xe^{1/x} \).

Solution détaillée : Les fonctions \(e^x\) et \(x\) ont \(\mathbb R\) comme domaine, ce qui implique que \(xe^{1/x}\) a le même domaine que \(\displaystyle\dfrac{1}{x} \). Le domaine de \(\displaystyle\dfrac{1}{x} \) est \(\mathbb R_0 \), qui est donc également le domaine de \(xe^{1/x}\).

En utilisant la règle de dérivation d'un produit, on calcule

\(\begin{array}{rcl} (xe^{1/x})'&=&(x)'e^{1/x}+x(e^{1/x})'\\[2mm] &=&1\cdot e^{1/x}+x\left(\dfrac{1}{x}\right)'e^{1/x}\\[2mm] &=&e^{1/x}+x\cdot \dfrac{-1}{x^2}\cdot e^{1/x}\\[2mm] &=&e^{1/x}-\dfrac{1}{x}\cdot e^{1/x}=\left(1-\dfrac{1}{x}\right)e^{1/x} \end{array}\)

 

5. Calculer la limite \( \displaystyle\lim_{x\to 1} \left(\ln(1-x^4)-\ln(1-x^2)\right)\).

Solution détaillée : On a

\(\begin{array}{rcl} \displaystyle\lim_{x\to 1} \left(\ln(1-x^4)-\ln(1-x^2)\right)&=&\displaystyle\lim_{x\to 1}\ln\dfrac{1-x^4}{1-x^2}\\ &=&\displaystyle\lim_{x\to 1}\ln\dfrac{(1-x^2)(1+x^2)}{1-x^2}\\ &=&\lim_{x\to 1}\ln(1+x^2)=\ln 2. \end{array}\)

 

6. Calculer la limite \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \ln\left(\ln\left(e+\dfrac{1}{x}\right)\right) \).

Solution détaillée : On calcule

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln\left(e+\dfrac{1}{x}\right)=1\)

et donc puisque la fonction \(\ln x\) est continue,

\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \ln\left(\ln\left(e+\dfrac{1}{x}\right)\right)=\ln(1)=0.\)

 

7. Résoudre l'équation \(\ln (x-5)+\ln (x-2)=2\ln 2 \).

 Solution détaillée : Les solution de cette équation doivent être dans le domaine de \(\ln (x-5)\) et de \(\ln(x-2) \).  Il faut donc que \(x-5>0\) et \(x-2>0 \), ce qui implique \(x>5 \). On a

\(\ln(x-5)+\ln(x-2)=2\ln 2\)

\(\ln\left[(x-5)(x-2)\right]=2\ln 2\)

\(\ln\left[(x-5)(x-2)\right]=\ln 2^2\)

\(\ln\left(x^2-7x+10\right)=\ln 4\)

Si \(x\) satisfait à \(\ln\left(x^2-7x+10\right)=\ln 4 \), \(x\) satisfait également à \(x^2-7x+10=4.\)

Toutes les solutions de cette dernière équation ne sont pas nécessairement des solutions de notre problème de départ, il faut également que \(x>5 \).

Résolvons l'équation \(x^2-7x+10=4\). Cette équation est équivalente à l'équation \(x^2-7x+6=0\). On calcule

\(x=\dfrac{7+\sqrt{25}}{2}=\dfrac{7+5}{2}=6\quad\mbox{ ou }\quad x=\dfrac{7-5}{2}=1.\)

La seule solution valable est donc \(x=6 \), car l'autre solution ne satisfait pas à \(x>5 \).

 

8. Résoudre l'équation \(2^{6x}-3\cdot2^{3x}-4=0 \).

Solution détaillée : On a

\(2^{6x}-3\cdot2^{3x}-4=0\)

\(\left(2^{3x}\right)^2-3\cdot2^{3x}-4=0\)

Posons \(y=2^{3x}\) et nous obtenons l'équation quadratique \(y^2-3y-4=0.\)  Les solutions sont

\(y=\dfrac{3+5}{2}=4\quad\mbox{ ou }\quad y=\dfrac{3-5}{2}=-1.\)

Il faut que \(y=2^{3x}>0 \), il est donc impossible que \(y=-1 \). La seule solution valable est donc \(y=4 \). Ceci implique que

\(2^{3x}=4\)

\(\log_22^{3x}=\log_2 4\)

\(3x=\log_24\)

\(3x=\log_2(2)^2\)

\(3x=2\log_22\)

\(x=\dfrac{2}{3}\)