Théorie du module : Polynômes

Factorisation de polynômes

Définition - Factoriser un polynôme consiste à le transformer en produits de polynômes de degré plus petit.

Voici différentes méthodes pour décomposer en facteurs.

(a) Mise en évidence

Lorsque tous les termes d'une expression ont des facteurs communs, il faut toujours commencer par mettre ces facteurs en évidence.

Par exemple,

\(\begin{array}[t]{c} 17ax-34bx=17x(a-2b)\\ 3a^2b-3ab =3ab(a-1) \end{array}\)

(b) Emploi des identités remarquables

Si l'expression est le développement d'une identité remarquable, la factorisation est immédiate. Voici les produits remarquables les plus utilisés : pour \(a, b \in \mathbb{R}\), on a

\( \begin{array}{ll} \displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 & \qquad\displaystyle a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \\ \displaystyle (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 & \qquad\displaystyle a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \\ \displaystyle (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 & \qquad\displaystyle a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\ \displaystyle (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 & \\ \end{array}\)

Par exemple,

\(\begin{array}{ll} 4x^2 + 12x + 9=(2x + 3)^2& \qquad x^2 - 4=(x - 2)(x + 2) \\ x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2& \qquad x^3 - 8=(x - 2)(x^2 + 2x + 4) \\ x^3 + 6x^2 + 12x + 8=(x + 2)^3& \qquad x^3 + 27=(x + 3)(x^2 - 3x + 9) \\ x^3 - 3x^2 +3x - 1=(x - 1)^3& \\ \end{array}\)

(c) Groupement de termes

Un groupement peut faire apparaître un facteur commun ou une identité remarquable.

Par exemple,

\(\begin{array}{rcl} ax+bx+ay+by&=&a(x+y)+b(x+y)\\ &=&(x+y)(a+b) \end{array}\)

et

\(\begin{array}{rcl} a^2-b^2-c^2+2bc &=&a^2-(b^2+c^2-2bc)\\ &=&a^2-(b-c)^2\\ &=&[a-(b-c)][a+(b-c)]\\ &=&(a-b+c)(a+b-c) \end{array}\)

(d) Factorisation du trinôme du second degré

Le polynôme \(ax^2+bx+c\) se décompose sous la forme

\(ax^2 + bx + c = a (x - x_1)(x - x_2),\)

avec \(x_1 = \displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) et \(x_2 = \displaystyle\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) si \(b^2 - 4ac \geq 0\).

Remarque : Pour plus de détails, vous pouvez aller voir le chapitre sur les equations.

Par exemple, factorisons le polynôme \(\displaystyle 2x^2+5x+2\). On a

\(2x^2+5x+2=2(x+\textstyle\frac{1}{2})(x+2)=(2x+1)(x+2)\)

car

\(\displaystyle x_1=\frac{-5+\sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2\cdot 2}=\frac{-5+\sqrt 9}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2},\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-5-\sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2\cdot 2}=\frac{-5-\sqrt 9}{4}=\frac{-8}{4}=-2.\)

(e) Artifices de calculs

Voici quelques "trucs" qui permettent de se ramener à une des situations ci-dessus.

  1. Ajouter et retrancher un même terme, puis grouper.

    Par exemple,

    \(\begin{array}[t]{rl} a^4+4&=a^4+4+4a^2-4a^2\\ &=(a^2+2)^2-(2a)^2\\ &=(a^2+2+2a)(a^2+2-2a) \end{array}\)

  2. Dédoubler un terme, puis grouper.

    Par exemple,

    \(\begin{array}[t]{rl} x^3+5x+6&=x^3-x+6x+6\\ &=x(x^2-1)+6(x+1)\\ &=x(x+1)(x-1)+6(x+1)\\ &=(x+1)(x^2-x+6) \end{array}\)

  3. Effectuer, puis grouper.

    Par exemple,

    \(\begin{array}[t]{rl} a(a+c)-b(b-c)&=a^2+ac-b^2+bc\\ &=(a^2-b^2)+c(a+b)\\ &=(a+b)(a-b)+c(a+b)\\ &=(a+b)(a-b+c) \end{array}\)

(f) Méthode des diviseurs binômes

Pour déterminer un diviseur binôme \((x-a)\) d'un polynôme, on cherche parmi les diviseurs du terme indépendant, un nombre \(a\) (positif ou négatif) qui annule ce polynôme.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder preuve de cette affirmation.

Par exemple, factorisons le polynôme \(x^3+x+2\). Les diviseurs de \(2\) sont \(+1\), \(-1\), \(+2\), \(-2\). On calcule

\(P(1)=1^3+1+2 \neq 0,\)

\(P(-1)=(-1)^3+(-1)+2=0.\)

Le polynôme est donc divisible par \((x-(-1))=(x+1)\). On calcule ensuite le quotient par la méthode de Horner :

\(\begin{array}{c|ccc|c} &1&0&1&2 \\ \hline -1&&-1&1&-2 \\ \hline &1&-1&2&0 \end{array}\)

Le quotient est \(x^2-x+2\) et donc \(x^3+x+2=(x+1)(x^2-x+2)\).

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