Théorie du module : Polynômes

Definitions

Définitions - Un polynôme en la variable \(x\) est une somme dont les termes sont les produits de puissances entières positives ou nulles de la variable \(x\) par des nombres réels. Les facteurs réels de ces produits sont appelés les coefficients du polynôme. Le degré du polynôme est le degré du terme de plus haute puissance de la variable dont le coefficient est non nul. Le terme indépendant du polynôme est le terme de puissance nulle.

Un polynôme en \(x\) de degré \(n\) est donc une expression algébrique de la forme :

\(P(x)=a_n x^n +a_{n-1} x^{n-1}+ \dots + a_1 x + a_0\)

\(a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 \in \mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{N}\).

Par exemple, \(3x^2-5x+6\) est un polynôme de degré \(2\), son terme indeépendant est \(6\).

Deux polynômes sont égaux si les termes de même puissance ont les mêmes coefficients.

Par exemple, \(-5x+3x^2+6 = ax^2+bx+c \;\) ssi \(\; a=3, b=-5, c=6\).

Définition - L'évaluation du polynôme \(P\) en \(x=a\) est la valeur numérique de ce polynôme en \(x=a\), c'est-à-dire \(P(a)\).

Par exemple si \(P(x)=x^3+2x-1\), on a \(P(0)=0^3+2\cdot 0-1=-1\) et \(P(2)=2^3+2\cdot 2-1=11\).

Définition - Le nombre réel \(a\)est une racine du polynôme \(P\) si \(P(a)=0\).

Par exemple, le polynôme \(P(x)=x^2-5x+6\) possède deux racines \(x=2\) et \(x=3\) car \(P(2)=0\) et \(P(3)=0\).

Théorie