Théorie du module : Calcul algébrique

Proportions et règle de trois

Définitions - Soit \(a\), \(c\in \mathbb{R}\) et \(b\), \(d\in\mathbb{R}_0\). L'expression \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) est une proportion.
Dans cette expression, les termes \(a\) et \(d\) sont appelés les extrêmes et les termes \(b\) et \(c\) sont les moyens.

Dans une proportion, le produit des moyens est toujours égal au produit des extrêmes.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

En particulier, \(\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\) ne signifie pas nécessairement que \(x=3\) et \(y=2\) mais que \(2x=3y\). Donc, \(x=6\) et \(y=4\) conviennent aussi par exemple.

 

Règle de trois

La règle de trois permet de déterminer le quatrième nombre d'une proportion \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) si les trois autres sont connus. Deux cas peuvent se présenter :

  • on veut calculer l'un des numérateurs, par exemple \(a\), en connaissant \(b\)\(c\) et \(d\). En multipliant la proportion \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) par \(b\), on obtient \(a = \frac{b\cdot c}{d}\).
  • on veut calculer l'un des dénominateurs, par exemple \(d\), en connaissant \(a\), \(b\) et \(c\). Puisque dans une proportion le produit des moyens est égal au produit des extrêmes, la proportion \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nous donne \(a\cdot d=b\cdot c\) et de là, en divisant par \(a\), on obtient \(d=\frac{b\cdot c}{a}\).

Remarque : Pour calculer \(d\), on peut faire une étape intermédiaire en passant par l'unité. On a

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\frac{b}{a}}=\dfrac{c}{\frac{b\cdot c}{a}}\)

et donc \(d=\dfrac{b\cdot c}{a}\).

Par exemple, déterminer le prix de \(1,5\) kg de fraises si \(2\) kg de fraises coûtent \(10\) euros. Si \(x\) représente le prix de \(1,5\) kg de fraises, on peut construire le tableau

\(\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{nombre de kg}&\mbox{prix en euros}\\ \hline 2&10\\ \hline 1,5&x\\ \hline \end{array}\)

On en déduit \(\dfrac{2}{10}=\dfrac{1,5}{x}\) c'est-à-dire \(2x=1,5\cdot 10\) et donc \(x=\dfrac{15}{2}=7,5\) euros.

En passant par l'unité, si \(x\) représente le prix de \(1,5\) kg de fraises, on a

  • pour acheter \(2\) kg de fraises, il faut \(10\) euros,
  • pour acheter \(1\) kg de fraises, il faudra \(\dfrac{10}{2}\) euros,
  • pour acheter \(1,5\) kg de fraises, il faudra \(1,5\cdot \dfrac{10}{2}=\dfrac{15}{2}=7,5\) euros.

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