Théorie du module : Calcul algébrique

Exemples détaillés

  1. Simplifier l'expression \(\dfrac{2/3+3/4}{5/6-7/8}\).

Solution détaillée : Commençons par calculer le numérateur.

\(\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2\cdot 4+3\cdot 3}{3\cdot 4}=\dfrac{8+9}{12}=\dfrac{17}{12}.\)

Calculons ensuite le dénominateur. Le P.P.C.M. entre \(6\) et \(8\) est \(24\), donc

\(\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{8}=\dfrac{5\cdot 4}{6\cdot 4}-\dfrac{7\cdot 3}{8\cdot 3}=\dfrac{20}{24}-\dfrac{21}{24}=-\dfrac{1}{24}. \)

On peut finalement écrire

\(\dfrac{2/3+3/4}{5/6-7/8}=\dfrac{17/12}{-1/24}=\dfrac{17}{12}\cdot \left(-\dfrac{24}{1}\right)=-34.\)

 

  1. Simplifier l'expression \(\displaystyle\left( \dfrac{a^2b^3c^{-2}}{a^3b^2c}\right)^{-1}\).

Solution détaillée : On calcule

\(\dfrac{a^2b^3c^{-2}}{a^3b^2c}=a^{2-3}b^{3-2}c^{-2-1}=a^{-1}b^1c^{-3}=\dfrac{b}{ac^3}.\)

Donc

\(\left( \dfrac{a^2b^3c^{-2}}{a^3b^2c}\right)^{-1}=\left( \dfrac{b}{ac^3}\right)^{-1}=\dfrac{ac^3}{b}.\)

 

  1. Simplifier l'expression \(\displaystyle \sqrt[n]{\sqrt[3]{a^{2n}b^{3n}}}\).

Solution détaillée : En utilisant les exposants fractionnaires, on peut écrire

\(\sqrt[n]{\sqrt[3]{a^{2n}b^{3n}}}=(\sqrt[3]{a^{2n}b^{3n}})^{1/n}=((a^{2n}b^{3n})^{1/3})^{1/n}.\)

Par les propriétés, on a

\(((a^{2n}b^{3n})^{1/3})^{1/n}=(a^{2n}b^{3n})^{1/3n}=a^{2n/3n}b^{3n/3n}=a^{2/3}b=\sqrt[3]{a^2}b.\)

 

  1. Calculer \(2\sqrt[6]{a^2}-\sqrt[3]{27a}+\sqrt[3]{a}\).

Solution détaillée : En utilisant les exposants fractionnaires, on peut écrire \(2\sqrt[6]{a^2}-\sqrt[3]{27a}+\sqrt[3]{a}=2a^{2/6}-27^{1/3}a^{1/3}+a^{1/3}=2a^{1/3}-3a^{1/3}+a^{1/3}=0. \)

 

  1. Rendre rationnel le dénominateur de la fraction \(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\).

Solution détaillée : En multipliant haut et bas par \(\sqrt{6}\), on obtient

\(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\dfrac{(3\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{6}}{6}=\dfrac{3\sqrt{12}+\sqrt{18}}{6}. \)

Comme \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{4}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), on obtient finalement

\(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\dfrac{3\sqrt{12}+\sqrt{18}}{6}=\dfrac{6\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}=\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\)

 

  1. Rendre rationnel le dénominateur de la fraction \(\dfrac{\sqrt{14}+\sqrt{15}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\).

Solution détaillée : En multipliant haut et bas par le binôme conjugué du dénominateur \(\sqrt{7}+\sqrt{5}\), on obtient

\(\begin{array}{rcl} \dfrac{\sqrt{14}+\sqrt{15}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} &= &\dfrac{(\sqrt{14}+\sqrt{15})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} \\ &= &\dfrac{\sqrt{14}\sqrt{7}+\sqrt{14}\sqrt{5}+\sqrt{15}\sqrt{7}+\sqrt{15}\sqrt{5}}{7-5} \\ &= &\dfrac{\sqrt{2\cdot 7\cdot 7}+\sqrt{2\cdot 7\cdot 5}+\sqrt{3\cdot 5\cdot 7}+\sqrt{3\cdot 5\cdot 5}}{2} \\ &= & \dfrac{7\sqrt{2}+\sqrt{70}+\sqrt{105}+5\sqrt{3}}{2}. \end{array} \)

 

  1. Résoudre \(|2x-5|=3\).

Solution détaillée : En vertu de la Propriété 6 des valeurs absolues, \(|2x-5|=3\)est équivalent à

\(2x-5=3 \quad \mbox{ ou }\quad 2x-5=-3.\)

Aussi, \(2x=8\) ou \(2x=2\). D'où \(x=4\) ou \(x=1\). La solution est l'ensemble à deux éléments \(S=\{1,4\}\).

Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d'équations, allez voir la section Equations.

 

  1. Résoudre l'inéquation \(|3x+2|\geq 4\).

Solution détaillée : Eu égard aux Propriétés 6 et 8, \(|3x+2|\geq 4\) est équivalent à

\(3x+2\geq 4 \quad \mbox{ ou }\quad 3x+2\leq -4.\)

Dans le premier cas, \(3x\geq 2\) ou \(x\geq \frac 23\). Dans le second cas, \(3x\leq -6\), qui donne \(x\leq -2\). La solution est donc

\(\{x\in\mathbb{R}\, :\, x\leq -2 \quad \mbox{ou}\quad x\geq \textstyle\frac 23\}=]-\infty,-2]\cup\,[\textstyle\frac 23,\infty[.\)

Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d'inéquations, allez voir la section Inéquations.

 

  1. Résoudre l'équation \(\displaystyle |x+3|=|2x+1|\).

Solution détaillée : On a

\(\vert x+3\vert= \left\{ \begin{array}{cc} x+3 &\mbox{si } x\geq -3,\\ -x-3 &\mbox{si } x<-3. \end{array} \right.\)   \(\vert 2x+1\vert= \left\{ \begin{array}{ll} 2x+1 &\mbox{si } x\geq -\frac{1}{2},\\ -2x-1 &\mbox{si } x<-\frac{1}{2}. \end{array} \right.\)

Ceci nous détermine trois régions de la droite réelle :
Si \(x<-3\), l'équation devient \(-x-3=-2x-1\), c'est-à-dire \(x=2\). Ceci est impossible puisque \(x<-3\).
Si \(-3\leq x<-\frac{1}{2}\), l'équation devient \(x+3=-2x-1\), c'est-à-dire \(x=-\frac{4}{3}\).
Si \(x\geq-\frac{1}{2}\), l'équation devient \(x+3=2x+1\), c'est-à-dire \(x=2\).
On obtient ainsi la solution de l'équation \(S=\{-\frac{4}{3}, 2\}\).

Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d'équations, allez voir la section Equations.

 

  1. Ecrire avec des valeurs absolues l'intervalle \([\,-3,+7\,]\).

Solution détaillée : L'intervalle \([\,-3,+7\,]\) est de longueur \(10\). Il faut donc que la valeur absolue soit inférieure ou égale à \(5\). On obtient

\(\begin{array}{rcl} [-3,7] & = & \{x\in\mathbb{R}\, :\, -3\leq x\leq 7\} \\ &= & \{x\in\mathbb{R}\, :\, -5\leq x-2\leq 5\} \\ &= &\{x\in\mathbb{R}\, :\, \vert x-2\vert\leq 5\} \end{array} \)

 

  1. Un élève a obtenu les résultats suivants (sur \(20\)) à ses tests : \(3,\, 6,\, 2,\, 5,\, 10,\, 9,\, 7\). Calculer sa moyenne. Que devient cette moyenne si tous les résultats sont multipliés par deux ? Que devient-elle si on ajoute \(5\) à chaque résultat ?

Solution détaillée :  Il y a \(7\) notes. La moyenne est

\(\bar{x}=\dfrac{3+6+2+5+10+9+7}{7}=\dfrac{42}{7}=6.\)

Sa note moyenne est de \(6\) sur \(20\).

Si on multiplie tous les résultats par deux, les \(7\) notes deviennent \(6,\, 12,\, 4,\, 10,\, 20,\, 18,\, 14\)  et la moyenne est

\(\bar{x}=\dfrac{6+12+4+10+20+18+14}{7}=\dfrac{84}{7}=12.\)

Sa note moyenne est de \(12\) sur \(20\). On peut remarquer que la moyenne a été multipliée par deux si toutes les notes sont multipliée par deux.

Si on ajoute \(5\) à chaque résultat, les \(7\) notes deviennent \(8,\, 11,\, 7,\, 10,\, 15,\, 14,\, 12\) et la moyenne est

\(\bar{x}=\dfrac{8+11+7+10+15+14+12}{7}=\dfrac{77}{7}=11.\)

Sa note moyenne est de \(11\) sur \(20\). On peut remarquer que la moyenne augmente de \(5\) si toutes les notes sont augmentées de \(5\).

Théorie