Théorie du module : Calcul algébrique
Table des matières
- Priorité des opérations
- Règle des parenthèses
- Produit
- Fractions
- Proportions et règle de trois
- Pourcentages
- Puissances n-ième
- Racine n-ième
- Valeur absolue et distance
- Moyennes
- Exemples détaillés
Preuves
Si \(a\) est un nombre réel, alors
\(\vert a\vert^2=a^2,\)
d'où, en prenant la racine carrée positive :
\(\vert a\vert=\sqrt {a^2}.\)
Si \(a\ge 0\), alors \(\vert a\vert=a\) et la proposition est clairement vérifiée.
Si \(a<0\), alors \(\vert a\vert=-a\) et donc
\(\vert a\vert^2=(-a)^2=a^2.\)
- \(|ab|=|a||b|\),
- \(\displaystyle\left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|},\,\, (b\ne 0)\)
- \(|a^n|=|a|^n\),
- \(\vert a+b\vert\le\vert a\vert + \vert b\vert\) (inégalité triangulaire),
- \(\vert a-b\vert\ge \vert a\vert-\vert b\vert\).
Les propriétés 1 et 2 sont évidentes par définition de la valeur absolue.
3. En utilisant la Propriété 1, on obtient
\(|a^n|=|a\cdot a\cdots a|=|a|\cdot|a|\cdots|a|=|a|^n.\)
4. Comme \(ab\le \vert ab\vert=\vert a\vert \vert b\vert\), on a aussi
\(2ab\le 2\vert a\vert \vert b\vert.\)
Alors,
\(\begin {eqnarray*} (\vert a+b\vert)^2=(a+b)^2 & = & a^2+2ab+b^2 \\ &\le &a^2+2\vert a\vert \vert b\vert+b^2\\ &\le&\vert a\vert^2+2\vert a\vert \vert b\vert+\vert b\vert^2\\ &\le&(\vert a\vert+\vert b\vert)^2 \end{eqnarray*}\)
Puisque les deux nombres élevés au carré sont positifs, la même inégalité subsiste entre leurs racines carrées.
5. On peut écrire successivement
\(\vert a\vert=\vert (a-b)+b\vert\le \vert a-b\vert +\vert b\vert.\)
L'ingalité attendue s'obtient en faisant passer \(\vert b\vert\) dans l'autre membre.
- \(|x|=a\) si et seulement si \(x=a\) ou \(x=-a\),
- \(|x|<a\) si et seulement si \(-a<x<a\),
- \(|x|>a\) si et seulement si \(x>a\) ou \(x<-a\).
On va à chaque fois considérer séparément les cas \(x>0\) et \(x<0\).
6. Si \(x>0\), on a \(|x|=x\) et donc \(|x|=a\Leftrightarrow x=a\).
Si \(x<0\), on a \(|x|=-x\) et donc \(|x|=a\Leftrightarrow -x=a\Leftrightarrow x=-a\).
7. Si \(x>0\), on a \(|x|=x\) et donc \(|x|<a\Leftrightarrow x<a\). De plus, \(-a<0\) et on a aussi \(-a<x\).
D'où \(|x|<a\Leftrightarrow -a<x<a\).
Si \(x<0\), on a \(|x|=-x\) et donc \(|x|<a\Leftrightarrow -x<a\Leftrightarrow x>-a\). De plus, \(a>0\) et on a aussi \(x<a\).
D'où \(|x|<a\Leftrightarrow -a<x<a\).
8. Si \(x>0\), on a \(|x|=x\) et donc \(|x|>a\Leftrightarrow x>a\).
Si \(x<0\), on a \(|x|=-x\) et donc \(|x|>a\Leftrightarrow -x>a\Leftrightarrow x<-a\).
On considère la proportion
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.\)
Cette proportion peut encore s'écrire
\(a\cdot \frac{1}{b}=c\cdot\frac{1}{d}.\)
En multipliant les deux membres par \(bd\), on obtient
\(a\cdot \frac{1}{b}\cdot b\cdot d=c\cdot\frac{1}{d}\cdot b\cdot d\)
et donc
\(ad=bc.\)