Théorie du module : Systèmes

Système de deux équations à deux inconnues

Toute équation du premier degré à deux inconnues possède une infinité de solutions. En effet, sa représentation graphique est une droite qui comporte une infinité de points dont les coordonnées sont des solutions de cette équation. Si l'on considère un système de deux équations à deux inconnues, ses solutions seront les couples de réels \((x,y)\) vérifiant à la fois la première et la seconde équation.

On veut donc résoudre le système

\( \left\{ \begin{array}{l} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{array} \right.\)

formé par les équations des deux droites \(D_1 : ax+by=c\) et \(D_2 : a'x+b'y=c'\).

(a) Interprétation géométrique

Si \(b\neq 0\) et \(b'\neq 0\), ce système peut encore s'écrire

(1.1)

\(\left\{ \begin{array}{l} y=mx+p \\ y=m'x+p' \end{array} \right. \)

Notons \(S\) l'ensemble des points de \(\mathbb{R}^2\) vérifiant le système. Autrement dit

\(S = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2:\, (x,y)\mbox{ satisfait la relation (1.1)}\}.\)

L'ensemble \(S\) comprend les points de l'intersection des 2 droites. Plusieurs cas sont possibles en fonction des paramètres des 2 droites.

  • Les deux droites sont sécantes - Si \(m\neq m'\), les deux droites sont sécantes et ont alors un seul point commun, le point \((x_0,y_0)\). Le système aura une solution unique notée \(S=\{(x_{0},y_{0})\}\).
  • Les deux droites sont parallèles distinctes - Si \(m=m'\) et \(p \not = p'\), les deux droites sont parallèles et distinctes. Elles n'ont donc aucun point en commun. Le système n'aura aucune solution. On dit qu'il est impossible et on note \(S=\emptyset\).
  • Les deux droites sont parallèles confondues - Si \(m=m'\) et \(p=p'\), les deux droites sont confondues. Elles ont tous leurs points en commun. Le système a une infinité de solutions. On dit qu'il est indéterminé et on note \(S=\{(x,y)\,|\, y=mx+p\}\).

(b) Méthodes de résolution

Voyons à présent trois méthodes pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

 

Méthode de combinaison

Cette méthode repose sur les deux principes suivants :

Premier principe - On peut multiplier n'importe quelle équation du système par une constante \(k \neq 0\) et on obtient un système équivalent.

Ce premier principe est clair au vu de l'interprétation géométrique. En effet, multiplier tous les coefficients d'une droite par une constante \(k \neq 0\) conduit à la même droite et donc ne modifie pas le système.

Second principe - On peut remplacer une équation du système par sa somme avec n'importe quelle équation du système et on obtient un système équivalent.

En effet, tout point \((x,y)\) vérifiant l'équation de la première droite et l'équation de la deuxième droite vérifie également l'équation obtenue en additionnant les deux équations et réciproquement.

Méthode de combinaison
  • Aligner les inconnues et le terme indépendant.
  • Multiplier les équations par un réel de telle manière qu'en faisant la somme des équations, une des inconnues disparaisse.
  • Isoler l'inconnue restante.
  • Remplacer cette inconnue par sa valeur dans l'équation restante.

 

Résolvons par exemple le système \(\left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=9 \\ 4x=y+1 \end{array} \right.\)

On a successivement

\(\left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=9 \\ 4x=y+1 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=9 \\ 4x-y=1 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 12x+8y=36 \\ -12x+3y=-3 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 12x+8y=36 \\ 11y=33 \end{array} \right. \)

 

\( \left\{ \begin{array}{l} 12x+8y=36 \\ y=3 \end{array} \right. \) \( \left\{ \begin{array}{l} 12x+24=36 \\ y=3 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 12x=12 \\ y=3 \end{array} \right. \) \( \left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=3 \end{array} \right. \)

 

et donc \( S=\{(1,3)\}\).

 

Méthode de substitution

Méthode de substitution
  • Isoler une des inconnues dans une des équations.
  • Remplacer l'inconnue isolée (substituer) par sa valeur dans l'autre équation.
  • Isoler l'inconnue restante.
  • Remplacer cette inconnue par sa valeur dans l'équation restante.

 

Résolvons le même système que ci-dessus par cette méthode. On a successivement

\(\left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=9 \\ 4x=y+1 \end{array} \right. \) \(\left\{ \begin{array}{l} x=3-\frac{2}{3} y \\ 4x-y=1 \end{array} \right. \) \(\left\{ \begin{array}{l} x=3-\frac{2}{3} y \\ 4(3-\frac{2}{3} y)-y=1 \end{array} \right. \) \(\left\{ \begin{array}{l} x=3-\frac{2}{3} y \\ -\frac{11}{3} y=-11 \end{array} \right. \)

 

\(\left\{ \begin{array}{l} x=3-\frac{2}{3} y \\ y=3 \end{array} \right. \) \(\left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=3 \end{array} \right. \)    

et donc \(S=\{(1,3)\}\).

 

Matrices et systèmes

On veut résoudre le système \( \left\{ \begin{array}{c} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{array} \right.\)

Ce système peut s'écrire sous la forme matricielle

\(AX=B\)

\(A=\left( \begin{array}{cc} a&b\\ a'&b' \end{array} \right)\), \(X=\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{c} c\\ c' \end{array} \right).\)

Si \(A\) est inversible alors

\(AX=B\Leftrightarrow X=A^{-1}B. \)

La solution du système est alors donnée par

\(X=\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) =A^{-1}B= \dfrac{1}{ab'-ba'}\left( \begin{array}{cc} b' & -b \\ -a' & a \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{c} c\\ c' \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} \dfrac{b'c-bc'}{ab'-a'b}\\[4mm] \dfrac{ac'-a'c}{ab'-a'b} \end{array} \right)\)

Le système a donc une solution si le déterminant \(\det (A)=ab'-a'b\neq 0 \), c'est-à-dire si la matrice \(A\) est inversible.

Résolvons le même système que ci-dessus par cette méthode.
Le système

\(\left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=9 \\ 4x=y+1 \end{array} \right.\)

peut s'écrire sous la forme matricielle

\(AX=B\)

\(A=\left( \begin{array}{cc} 3&2\\ 4&-1 \end{array} \right)\) , \(X=\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{c} 9\\ 1 \end{array} \right). \)

Puisque \(\det (A)=-3-8=-11\neq 0 \), la matrice \(A\) est inversible et la solution du système est donnée par

\(X=A^{-1}B \). On calcule

\(A^{-1}= \dfrac{1}{-11}\left( \begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -4& 3 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{11} & \dfrac{2}{11} \\ \dfrac{4}{11}& - \dfrac{3}{11} \end{array} \right)\)

et la solution du système est alors donnée par

\(X=\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) =A^{-1}B= \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{11} & \dfrac{2}{11} \\ \dfrac{4}{11}& - \dfrac{3}{11} \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{c} 9\\ 1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} \dfrac{11}{11}\\ \dfrac{33}{11} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array} \right),\)

donc \(S=\{(1,3)\} \).

(c) Cas particuliers

  • Système impossible

    \( \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y=5 \\ 6x-4y=2 \end{array} \right. \)

    On a \(S=\emptyset\). En effet, les coefficients de \(x\) et \(y\) sont proportionnels mais pas les termes indépendants. Il s'agit de deux droites parallèles distinctes.
  • Système simplement indéterminé

    \(\left\{ \begin{array}{l} 3x-2y=5 \\ 6x-4y=10 \end{array} \right.\)

    On a \(S=\{(x,y)\in \mathbb R^{2}|3x-2y=5\}\). En effet, les deux équations ont des coefficients proportionnels. La deuxième équation est la multiplication de la première par un facteur \(2\). Il s'agit donc de la même droite.
  • Système doublement indéterminé

    \(\left\{ \begin{array}{l} 6x-2y=2(3x-y) \\ -x-4y+4=4(1-y)-x \end{array} \right.\)

    On a \(S= \mathbb R^{2}\). En effet, les deux équations de ce système sont équivalentes à l'équation \(0=0\) qui est toujours satisfaite quelles que soient les valeurs de \(x\) et de \(y\).

Système de plus de deux équations

Qu'en est-il maintenant si on a plus de deux équations dans \(\mathbb{R}^2\) ? Considérons un système de \(m\) équations à deux inconnues

(1.2)

\(\left\{\begin{array}{rlcl} a_1 x & + &b_1 y & = & c_1 \\ a_2 x & + &b_2 y & = & c_2 \\ &&{\vdots}&\\ a_m x & + & b_m y & = & c_m \end{array}\right.\)

Définissons \(S\) l'ensemble des solutions du système (1.2) :

\(S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: (x, y) \text{ satisfait (}\)1.2\()\}\)

Géométriquement, pour appartenir à \(S\), il faut appartenir à chacune des droites qui correspondent aux différentes équations du système (1.2). A nouveau, plusieurs cas sont possibles concernant l'intersection des droites.

  • Les droites sont sécantes pas toutes au même point - Dans ce cas, il n'y a pas d'intersection commune aux \(m\) droites.
  • Les droites sont toutes sécantes au même point - Dans ce cas, l'intersection se réduit à un point unique, le seul commun aux \(m\) droites.
  • Il y a deux droites parallèles disjointes - Dans ce cas, comme il n'y a pas d'intersection entre les deux droites parallèles disjointes, il n'y a donc pas d'intersection commune aux \(m\) droites.

En pratique, il suffit de considérer deux droites et de prendre leur intersection en résolvant le système constitué de leurs seules deux équations. Si ce système a une solution, on regarde si elle satisfait les autres équations. S'il n'a pas de solution alors le système complet n'aura pas de solution.

Système de m équations à n inconnues

Le système à \(m\) équations et \(n\) inconnues

\(\left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\[3mm] a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\[3mm] \vdots\\[3mm] a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\\[3mm] \end{array} \right.\)

peut s'écrire sous la forme matricielle

\(AX=B\)

\(A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{m1}&\ldots&a_{mn} \end{array} \right)\), \(X=\left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{array} \right).\)

Résoudre le système revient à trouver tous les n-uples \((x_1,x_2,\ldots,x_n)\) qui vérifient les \(m\) équations.

Pour cela, on considère la matrice augmentée correspondant au système :

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} a_{11}&\ldots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&\ldots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&\ldots&a_{mn}&b_m \end{array} \right)\)

 

Méthode de Gauss

Méthode de Gauss

  • Echelonner la matrice augmentée du système.
  • Résoudre le système obtenu après échelonnement.

On peut montrer que le système correspondant à la forme échelonnée de la matrice augmentée a les mêmes solutions que le système de départ.

Le résultat suivant permet de déterminer le nombre de solutions d'un système en comparant le rang de la matrice à celui de la matrice augmentée.

Théorème

  • Si \(\mbox{rang }(A|B)>\mbox{rang }(A)\) alors le système \(AX=B\) n'a pas de solution.
  • Si \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)\) alors le système \(AX=B\) a au moins une solution.
  • Si \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)=n\) alors le système \(AX=B\) a une solution unique.  

En effet, dans le premier cas, le système contient une équation de la forme

\(0x_1 + 0x_2 + \ldots + 0x_n = \alpha \,,\,\,\,\, \alpha \neq 0\,,\)

ce qui est impossible.

Si \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A) \), on résoud le système ligne par ligne à partir des lignes du bas. Les variables "non pivot" sont fixées arbitrairement et chaque ligne non nulle permet de déterminer une nouvelle variable pivot en fonction des variables d'indices suivants déjà déterminées.

Si de plus \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)=n\) alors la matrice \(A\) est inversible et l'unique solution du système \(AX=B\) est donnée par \(X=A^{-1}B\).

Cherchons les solutions du système

\(\left\{ \begin{array}{l} x-y=2\\ 2x+y=1\\ 3x+2y=5\\ \end{array} \right.\)

Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{cc} 1&-1\\ 2&1\\ 3&2 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 5 \end{array} \right).\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{cc|c} 1&-1&2\\ 2&1&1\\ 3&2&5 \end{array} \right) .\)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2-2L_1 \\ L_3 \rightarrow L_3-3L_1 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1&2 \\ 0&3&-3\\ 0&5&-1 \end{array} \right) \\ {}\\ L_3 \rightarrow L_3- \dfrac{5}{3}L_2 \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|c} 1&-1&2\\ 0&3&-3\\ 0&0&4 \end{array} \right) \end{array}\)

Vu que \(\mbox{rang }(A|B)=3\) et \(\mbox{rang }(A)=2 \), le système n'a pas de solution.  En effet, la dernière ligne obtenue après échelonnement mène à l'équation

\(0x + 0y=4\)

ce qui est impossible.

Cherchons les solutions du système

\(\left\{ \begin{array}{l} x+5y-2z=4\\ 3x+15y-6z=12\\ -2x+10y+4z=12\\ \end{array} \right.\)

Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&5&-2\\ 3&15&-6\\ -2&10&4 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 4\\ 12\\ 12 \end{array} \right)\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} 1&5&-2&4\\ 3&15&-6&12\\ -2&10&4&12 \end{array} \right)\)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2-3L_1 \\ L_3 \rightarrow L_3+2L_1 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&5&-2&4\\ 0&0&0&0\\ 0&20&0&20 \end{array} \right) \\ {}\\ L_2 \leftrightarrow L_3 \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&5&-2&4\\ 0&20&0&20\\ 0&0&0&0 \end{array} \right) \end{array}\)

On a \(\mbox{rang }(A|B)=2\) et \(\mbox{rang }(A)=2 \).  Comme \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)\neq 3 \), le système a une infinité de solutions.  En effet, la matrice

\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1&5&-2&4\\ 0&20&0&20\\ 0&0&0&0 \end{array} \right)\)

correspond au système

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&5&-2\\ 0&20&0\\ 0&0&0 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 4\\ 20\\ 0 \end{array} \right) \)  ou encore  \( \left\{ \begin{array}{l} x+5y-2z=4\\20y=20 \end{array} \right.\)

On fixe \(z=k \).

On en déduit \(y=1\) et \(x=4-5+2k=2k-1 \).

Les solutions sont donc de la forme \((x,y,z)=(2k-1,1,k)\) pour \(k\in\mathbb{R} \).

Par exemple : \((-1,1,0) , (1,1,1) , (3,1,2) , (-3,1,-1) , \ldots\) sont des solutions de ce système.

Cherchons les solutions du système

\(\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z=3\\ x+2y+7z=6\\ z=1\\ \end{array} \right.\)

Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&2\\ 1&2&7\\ 0&0&1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 3\\ 6\\ 1 \end{array} \right)\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&2&3\\ 1&2&7&6\\ 0&0&1&1 \end{array} \right)\)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} L_2 \rightarrow L_2-L_1 \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&2&3\\ 0&1&5&3\\ 0&0&1&1 \end{array} \right) \end{array}\)

On a \(\mbox{rang }(A|B)=3\) et \(\mbox{rang }(A)=3 \).   Comme \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)=n \), le système a une solution unique.  En effet, la matrice

\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&2&3\\ 0&1&5&3\\ 0&0&1&1 \end{array} \right)\)

correspond au système

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&2\\ 0&1&5\\ 0&0&1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 3\\ 3\\ 1 \end{array} \right)\)  ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z=3\\ y+5z=3\\ z=1 \end{array} \right.\)
 

On en déduit \(z=1 \), \(y=3-5=-2\) et \(x=3-(-2)-2=3 \).

L'unique solution est \((x,y,z)=(3,-2,1) \).

Vu que \(\mbox{rang }(A)=3=n \), la matrice \(A\) est inversible et on aurait pu trouver les solutions du système en calculant l'inverse de la matrice A :

\(\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)=A^{-1}\left( \begin{array}{c} 3\\ 6\\ 1 \end{array} \right) \)

Cet exercice est laissé au lecteur.

Exemples détaillés

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+4=0 \\ 4x-5y+30=0 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : Nous allons le résoudre par deux méthodes.

Méthode de combinaison : On a successivement

\(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=-4 \\ 4x-5y=-30 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 4x+6y=-8 \\ 4x-5y=-30 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 11y=22 \\ 4x-5y=-30 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=2 \\ 4x-5y=-30 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} y=2 \\ 4x-10=-30 \end{array} \right.\) \( \left\{ \begin{array}{l} y=2 \\ 4x=-20 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=2 \\ x=-5 \end{array} \right.\)  

 

et donc \( S=\{(-5,2)\}\).

Méthode de substitution : On a successivement

\(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+4=0 \\ 4x-5y+30=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+4=0\\ 5y=4x+30 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+4=0\\ y=\frac{4}{5}x+6 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3(\frac{4}{5}x+6)+4=0 \\ y=\frac{4}{5}x+6 \end{array} \right. \) \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{22}{5}x+22=0 \\ y=\frac{4}{5}x+6 \end{array} \right. \) \(\left\{ \begin{array}{l} x=-5 \\ y=\frac{4}{5}x+6 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} x=-5 \\ y=\frac{4}{5}(-5)+6 \end{array} \right. \) \(\left\{ \begin{array}{l} x=-5 \\ y=2 \end{array} \right. \)  

 

et donc \(S=\{(-5,2)\}\).

 

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=1\\ x-y=2 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : En utilisant le calcul matriciel, le système peut s'écrire sous la forme matricielle

\(AX=B\)

\(A=\left( \begin{array}{cc} 2&3\\ 1&-1 \end{array} \right)\), \(X=\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) \) et \(B=\left( \begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array} \right).\)

Puisque det\((A)=-5\neq 0 \), la matrice \(A\) est inversible et la solution du système est donnée par

\(X=\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) =A^{-1}B= \left( \begin{array}{cc} \dfrac{1}{5}& \dfrac{3}{5}\\ \dfrac{1}{5}&- \dfrac{2}{5} \end{array} \right) \cdot\left( \begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} \dfrac{7}{5}\\ - \dfrac{3}{5} \end{array} \right),\)

donc \(S=\{( \frac{7}{5},- \frac{3}{5})\} \).

 

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} (2x-1+y)(y+1)=0 \\ xy-x^{2}+3y+9=0 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : On a successivement

\(\left\{ \begin{array}{l} (2x-1+y)(y+1)=0 \\ y(x+3)-(x^2-9)=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} (2x-1+y)(y+1)=0\\ y(x+3)-(x-3)(x+3)=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} (2x-1+y)(y+1)=0\\ (x+3)(y-x+3)=0 \end{array} \right.\)

 

Ce système se décompose en 4 systèmes plus simples :

  • \(\left\{ \begin{array}{l} 2x-1+y=0 \\ x+3=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 2x-1+y=0\\ x=-3 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} -6-1+y=0\\ x=-3 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=7\\ x=-3 \end{array} \right.\)

     

  • \(\left\{ \begin{array}{l} y+1=0 \\ x+3=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=-1\\ x=-3 \end{array} \right.\)

     

  • \(\left\{ \begin{array}{l} 2x-1+y=0 \\ y-x+3=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=1\\ -x+y=-3 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=1\\ 3x=4 \end{array} \right.\)
    \(\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=1 \\ x=\frac{4}{3} \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{8}{3}+y=1\\ x=\frac{4}{3} \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=\frac{-5}{3}\\ x=\frac{4}{3} \end{array} \right.\)

     

  • \(\left\{ \begin{array}{l} y+1=0 \\ y-x+3=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=-1\\ y-x+3=0 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=-1\\ -1-x+3=0 \end{array} \right.\)

    \(\left\{ \begin{array}{l} y=-1 \\ x=2 \end{array} \right.\)

     

Finalement, on obtient quatre solutions : \(S=\{(-3,7),\, (-3,-1),\, (\frac{4}{3},\frac{-5}{3}),\, (2,-1) \}\).

Remarque : Cliquez sur les liens pour plus de détails concernant la factorisation et la résolution d'équations.

 

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} x+y-2z=-1\\ 2x-3y+4z=-9\\ -x-2y+6z=2 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : On va utiliser la méthode de Gauss.  Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&-2\\ 2&-3&4\\ -1&-2&6 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} -1\\ -9\\ 2 \end{array} \right)\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&-2&-1\\ 2&-3&4&-9\\ -1&-2&6&2 \end{array} \right) \)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2-2L_1\\ L_3 \rightarrow L_3+L_1 \end{array}\right. \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&-2&-1\\ 0&-5&8&-7\\ 0&-1&4&1 \end{array} \right) \\[1cm] L_3 \leftrightarrow L_3- \dfrac{1}{5}L_2 \, \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&-2&-1\\ 0&-5&8&-7\\ 0&0& \dfrac{12}{5}& \dfrac{12}{5} \end{array} \right) \end{array}\)

On a \(\mbox{rang }(A|B)=3\) et \(\mbox{rang }(A)=3 \).  Comme \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)=n \), le système a une solution unique.  En effet, la matrice

\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&-2&-1\\ 0&-5&8&-7\\ 0&0& \dfrac{12}{5}& \dfrac{12}{5} \end{array} \right)\)

correspond au système

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&-2\\ 0&-5&8\\ 0&0& \dfrac{12}{5} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} -1\\ -7\\ \dfrac{12}{5} \end{array} \right)\)  ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} x+y-2z=-1\\ -5y+8z=-7\\ \dfrac{12}{5}z= \dfrac{12}{5} \end{array} \right. \)

On en déduit \(z=1 \), \(y= \frac{-7-8}{-5}=3\) et \(x=-1-3+2=-2 \).  L'unique solution est \((x,y,z)=(-2,3,1) \), donc \(S=\{(-2,3,1)\} \).

 

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=0\\ 2x+y-z=-3\\ -x-2y-4z=-3\\ 2x-4z=-6 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : On va utiliser la méthode de Gauss.  Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 2&15&-1\\ -1&-2&-4\\ 2&0&-4 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0\\ -3\\ -3\\ -6 \end{array} \right)\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&0\\ 2&15&-1&-3\\ -1&-2&-4&-3\\ 2&0&-4&-6 \end{array} \right) \)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2-2L_1 \\ L_3 \rightarrow L_3+L_1\\ L_4 \rightarrow L_4-2L_1 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&0\\ 0&-1&-3&-3\\ 0&-1&-3&-3\\ 0&-2&-6&-6 \end{array} \right) \\ {}\\ \left\{ \begin{array}{l} L_3 \rightarrow L_3-L_2 \\ L_4 \rightarrow L_4-2L_2 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&0\\ 0&-1&-3&-3\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array} \right) \end{array}\)

On a \(\mbox{rang }(A|B)=2\) et \(\mbox{rang }(A)=2 \).  Comme \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)\neq 3 \), le système a une infinité de solutions.  En effet, la matrice

\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&0\\ 0&-1&-3&-3\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array} \right)\)

correspond au système

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 0&-1&-3 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0\\ -3 \end{array} \right)\)  ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=0\\ -y-3z=-3 \end{array} \right. \)

On fixe \(z=k \).

On en déduit \(y=3-3k\) et \(x=-3+3k-k=2k-3 \).

Les solutions sont donc de la forme \((x,y,z)=(2k-3,3-3k,k)\) pour \(k\in\mathbb{R} \).

Par exemple : \((-3,3,0) , (-1,0,1) , (1,-3,2) , (-5,6,-1) , \ldots\) sont des solutions de ce système.

On a donc \(S=\{(2k-3,3-3k,k);\, k\in\mathbb{R}\} \).

 

  1. Résoudre le système \(\left\{ \begin{array}{l} x-y+z=0\\ -2x+y-z=-2\\ x+2y-2z=-2 \end{array} \right.\)

Solution détaillée : On va utiliser la méthode de Gauss.  Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&-1&1\\ -2&1&-1\\ 1&2&-2 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0\\ -2\\ -2 \end{array} \right)\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&0\\ -2&1&-1&-2\\ 1&2&-2&-2 \end{array} \right)\)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2+2L_1 \\ L_3 \rightarrow L_3-L_1 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&0\\ 0&-1&1&-2\\ 0&3&-3&-2 \end{array} \right) \\ {}\\ L_3 \rightarrow L_3+3L_2 \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&0\\ 0&-1&1&-2\\ 0&0&0&-8 \end{array} \right) \end{array}\)

Vu que \(\mbox{rang }(A|B)=3\) et \(\mbox{rang }(A)=2 \), le système n'a pas de solution. En effet, la dernière ligne obtenue après échelonnement mène à l'équation

\(0x + 0y+0z=-8\)

ce qui est impossible. Donc \(S=\emptyset \).

 

  1. Trouver un nombre à deux chiffres tel que la différence entre 4 fois le chiffre des unités et trois fois le chiffre des dizaines soit égale à \(1\), et que renversé, le nombre diminue de \(9\)

Solution détaillée : Appelons \(x\) le chiffre des dizaines et \(y\) le chiffre des unités. Le nombre cherché est \(10x+y\). Il faut résoudre le système

\(\left\{ \begin{array}{l} 4y-3x=1\\ 10y+x=10x+y-9 \end{array} \right. \)

On a

\(\left\{ \begin{array}{l} -3x+4y=1 \\ -9x+9y=-9 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} 9x-12y=-3\\ -9x+9y=-9 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} -3y=-12\\ -9x+9y=-9 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=4 \\ -9x+9y=-9 \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} y=4 \\ -9x+36=-9 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=4 \\ 9x=45 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} y=4 \\ x=5 \end{array} \right.\)  

 

Le nombre cherché est donc \(54\).

 

  1. Un bateau à moteur, fonctionnant à plein régime, parcourt 4 km en remontant la rivière (contre un courant constant) en 15 minutes (= 1/4 heure). Le retour (avec le même courant et à plein régime) prend 12 minutes (=1/5 heure). Trouver la vitesse du courant et la vitesse propre du bateau en eau calme.

Solution détaillée : Définissons les inconnues de notre système : soit \(x\) la vitesse du bateau (en km/h), \(y\) la vitesse du courant (en km/h). Lors de la remontée, le courant ralentit le bateau; la vitesse à la remontée est donc de \(x-y\) (en km/h). Lors de la descente, le courant augmente la vitesse du bateau; la vitesse à la descente est donc de \(x+y\) (en km/h).
Rappelons que la distance \(s\) parcourue à une vitesse \(v\) pendant un temps \(t\) vaut \(s=vt\).

Ici, nous obtenons le système

\(\left\{\begin{array}{l} 4=\frac{1}{4}(x-y) \\ 4=\frac{1}{5}(x+y) \end{array} \right.\)

c'est-à-dire

\(\left\{ \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{rcrcl} x & - & y & = & 16 \\ x & + & y & = & 20 \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1.0} \right.\)

On a

\(\left\{ \begin{array}{l} 2x=36\\ x+y=20 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} x=18\\ x+y=20 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} x=18\\ 18+y=20 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} x=18 \\ y=2 \end{array} \right.\)

 

La vitesse du courrant est de \(2\) km/h et celle du bateau est de \(18\) km/h.

Preuves

Théorie