Théorie du module : Systèmes

Système de m équations à n inconnues

Le système à \(m\) équations et \(n\) inconnues

\(\left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\[3mm] a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\[3mm] \vdots\\[3mm] a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\\[3mm] \end{array} \right.\)

peut s'écrire sous la forme matricielle

\(AX=B\)

où \(A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{m1}&\ldots&a_{mn} \end{array} \right)\), \(X=\left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right)\) et \(B=\left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{array} \right).\)

Résoudre le système revient à trouver tous les n-uples \((x_1,x_2,\ldots,x_n)\) qui vérifient les \(m\) équations.

Pour cela, on considère la matrice augmentée correspondant au système :

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} a_{11}&\ldots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&\ldots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&\ldots&a_{mn}&b_m \end{array} \right)\)

 

Méthode de Gauss

On peut montrer que le système correspondant à la forme échelonnée de la matrice augmentée a les mêmes solutions que le système de départ.

Le résultat suivant permet de déterminer le nombre de solutions d'un système en comparant le rang de la matrice à celui de la matrice augmentée.

En effet, dans le premier cas, le système contient une équation de la forme

\(0x_1 + 0x_2 + \ldots + 0x_n = \alpha \,,\,\,\,\, \alpha \neq 0\,,\)

ce qui est impossible.

Si \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A) \), on résoud le système ligne par ligne à partir des lignes du bas. Les variables "non pivot" sont fixées arbitrairement et chaque ligne non nulle permet de déterminer une nouvelle variable pivot en fonction des variables d'indices suivants déjà déterminées.

Si de plus \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)=n\) alors la matrice \(A\) est inversible et l'unique solution du système \(AX=B\) est donnée par \(X=A^{-1}B\).

Cherchons les solutions du système

\(\left\{ \begin{array}{l} x-y=2\\ 2x+y=1\\ 3x+2y=5\\ \end{array} \right.\)

Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{cc} 1&-1\\ 2&1\\ 3&2 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 5 \end{array} \right).\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{cc|c} 1&-1&2\\ 2&1&1\\ 3&2&5 \end{array} \right) .\)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2-2L_1 \\ L_3 \rightarrow L_3-3L_1 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|c} 1 & -1&2 \\ 0&3&-3\\ 0&5&-1 \end{array} \right) \\ {}\\ L_3 \rightarrow L_3- \dfrac{5}{3}L_2 \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{cc|c} 1&-1&2\\ 0&3&-3\\ 0&0&4 \end{array} \right) \end{array}\)

Vu que \(\mbox{rang }(A|B)=3\) et \(\mbox{rang }(A)=2 \), le système n'a pas de solution.  En effet, la dernière ligne obtenue après échelonnement mène à l'équation

\(0x + 0y=4\)

ce qui est impossible.

Cherchons les solutions du système

\(\left\{ \begin{array}{l} x+5y-2z=4\\ 3x+15y-6z=12\\ -2x+10y+4z=12\\ \end{array} \right.\)

Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&5&-2\\ 3&15&-6\\ -2&10&4 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 4\\ 12\\ 12 \end{array} \right)\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} 1&5&-2&4\\ 3&15&-6&12\\ -2&10&4&12 \end{array} \right)\)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{l} L_2 \rightarrow L_2-3L_1 \\ L_3 \rightarrow L_3+2L_1 \end{array}\right. \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&5&-2&4\\ 0&0&0&0\\ 0&20&0&20 \end{array} \right) \\ {}\\ L_2 \leftrightarrow L_3 \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&5&-2&4\\ 0&20&0&20\\ 0&0&0&0 \end{array} \right) \end{array}\)

On a \(\mbox{rang }(A|B)=2\) et \(\mbox{rang }(A)=2 \).  Comme \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)\neq 3 \), le système a une infinité de solutions.  En effet, la matrice

\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1&5&-2&4\\ 0&20&0&20\\ 0&0&0&0 \end{array} \right)\)

correspond au système

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&5&-2\\ 0&20&0\\ 0&0&0 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 4\\ 20\\ 0 \end{array} \right) \)  ou encore  \( \left\{ \begin{array}{l} x+5y-2z=4\\20y=20 \end{array} \right.\)

On fixe \(z=k \).

On en déduit \(y=1\) et \(x=4-5+2k=2k-1 \).

Les solutions sont donc de la forme \((x,y,z)=(2k-1,1,k)\) pour \(k\in\mathbb{R} \).

Par exemple : \((-1,1,0) , (1,1,1) , (3,1,2) , (-3,1,-1) , \ldots\) sont des solutions de ce système.

Cherchons les solutions du système

\(\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z=3\\ x+2y+7z=6\\ z=1\\ \end{array} \right.\)

Ce système peut encore s'écrire

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&2\\ 1&2&7\\ 0&0&1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 3\\ 6\\ 1 \end{array} \right)\)

On considère la matrice augmentée du système

\((A|B)=\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&2&3\\ 1&2&7&6\\ 0&0&1&1 \end{array} \right)\)

Echelonnons cette matrice :

\(\begin{array}{ll} L_2 \rightarrow L_2-L_1 \hspace{5mm} & \left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&2&3\\ 0&1&5&3\\ 0&0&1&1 \end{array} \right) \end{array}\)

On a \(\mbox{rang }(A|B)=3\) et \(\mbox{rang }(A)=3 \).   Comme \(\mbox{rang }(A|B)=\mbox{rang }(A)=n \), le système a une solution unique.  En effet, la matrice

\(\left( \begin{array}{ccc|c} 1&1&2&3\\ 0&1&5&3\\ 0&0&1&1 \end{array} \right)\)

correspond au système

\(\left( \begin{array}{ccc} 1&1&2\\ 0&1&5\\ 0&0&1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 3\\ 3\\ 1 \end{array} \right)\)  ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} x+y+2z=3\\ y+5z=3\\ z=1 \end{array} \right.\)
 

On en déduit \(z=1 \), \(y=3-5=-2\) et \(x=3-(-2)-2=3 \).

L'unique solution est \((x,y,z)=(3,-2,1) \).

Vu que \(\mbox{rang }(A)=3=n \), la matrice \(A\) est inversible et on aurait pu trouver les solutions du système en calculant l'inverse de la matrice A :

\(\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)=A^{-1}\left( \begin{array}{c} 3\\ 6\\ 1 \end{array} \right) \)

Cet exercice est laissé au lecteur.