Théorie du module : Nombres complexes
Table des matières
- L'ensemble des nombres complexes
- Equations du deuxième degré
- Forme trigonométrique d'un nombre complexe
- Exponentielle complexe
- Exemples détaillés
Exponentielle complexe
Définition - Pour tout nombre réel \(\phi\), on pose \(e^{i\phi}=\cos \phi+i\sin \phi\).
Ainsi, tout nombre complexe \(z\) non nul peut s'écrire \(z=|z|e^{i\phi}\). C'est la forme exponentielle d'un nombre complexe \(z\).
On déduit directement de cette définition que le module de \(e^{i\phi}\) est égal à 1 et l'argument de \(e^{i\phi}\) est égal à \(\phi\).
On peut alors écrire sous forme exponentielle, les propriétés rencontrées précédemment.
Propriétés : pour tout nombre réel \(\phi\), on a
- \(e^{i\phi}=e^{i\phi'}\) équivaut à \(\phi=\phi'\);
- \(e^{i\phi}\cdot e^{i\phi'}=e^{i(\phi+\phi')}\);
- \(e^{-i\phi}=\dfrac{1}{e^{i\phi}}\);
- \(\dfrac{e^{i\phi}}{e^{i\phi'}}=e^{i(\phi-\phi')}\);
- \((e^{i\phi})^n=e^{in\phi}\qquad (n\in \mathbb{N})\).
Lorsque \(\phi=\pi\), nous retrouvons la célèbre formule d'Euler (1707-1783) :
\(e^{i\pi}=-1.\)
En effet, \(e^{i\pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1+i.0=-1\).