Théorie du module : Polynômes

Definitions

Définitions - Un polynôme en la variable \(x\) est une somme dont les termes sont les produits de puissances entières positives ou nulles de la variable \(x\) par des nombres réels. Les facteurs réels de ces produits sont appelés les coefficients du polynôme. Le degré du polynôme est le degré du terme de plus haute puissance de la variable dont le coefficient est non nul. Le terme indépendant du polynôme est le terme de puissance nulle.

Un polynôme en \(x\) de degré \(n\) est donc une expression algébrique de la forme :

\(P(x)=a_n x^n +a_{n-1} x^{n-1}+ \dots + a_1 x + a_0\)

\(a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 \in \mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{N}\).

Par exemple, \(3x^2-5x+6\) est un polynôme de degré \(2\), son terme indeépendant est \(6\).

Deux polynômes sont égaux si les termes de même puissance ont les mêmes coefficients.

Par exemple, \(-5x+3x^2+6 = ax^2+bx+c \;\) ssi \(\; a=3, b=-5, c=6\).

Définition - L'évaluation du polynôme \(P\) en \(x=a\) est la valeur numérique de ce polynôme en \(x=a\), c'est-à-dire \(P(a)\).

Par exemple si \(P(x)=x^3+2x-1\), on a \(P(0)=0^3+2\cdot 0-1=-1\) et \(P(2)=2^3+2\cdot 2-1=11\).

Définition - Le nombre réel \(a\)est une racine du polynôme \(P\) si \(P(a)=0\).

Par exemple, le polynôme \(P(x)=x^2-5x+6\) possède deux racines \(x=2\) et \(x=3\) car \(P(2)=0\) et \(P(3)=0\).

Opérations sur les polynômes

(a) Somme de polynômes

La somme de deux polynômes est le polynôme obtenu en additionnant entre eux les termes de même puissance.

Par exemple, \((3x^2-5x+6) + (x^3-x+2) = x^3+3x^2-6x+8\).

(b) Produit de polynômes

Le produit de deux polynômes est le polynôme obtenu en multipliant chaque terme de l'un par chaque terme de l'autre.

Par exemple, \((-x^3+2x^2+1)(3x-2)=-3x^4+6x^3+3x+2x^3-4x^2-2=-3x^4+8x^3-4x^2+3x-2\).

Remarque : Vous trouverez les règles de calcul des puissances en cliquant ici.

(c) Division de polynômes

La division d'un polynôme \(P(x)\) (dividende) par un polynôme \(D(x)\) (diviseur) donne un polynôme \(Q(x)\) (quotient) et un polynôme \(R(x)\) (reste) liés par les relations :

\(P(x) = D(x)\cdot Q(x) + R(x)\)

\(\mbox{où }\text{degré de }R(x) < \ \text{degré de } D(x)\)

\(\mbox{et }\text{degré de }Q(x) = \ \text{degré de } P(x) - \text{degré de } D(x)\)

 

Division euclidienne

Pour faire une division euclidienne, on réalise un tableau comme pour une division de nombres réels :

\(\begin{array}{c|c} P(x)&\underline{D(x)} \\ \underline{\ \ \ \ \vdots \ \ \ \ } & {Q(x)} \\ {R(x)} & \\ \end{array}\)

 

Cette division s'arrête lorsque le degré de \(R\) est strictement inférieur au degré de \(D\).

Par exemple, divisons le polynôme \(6x^4 - 2x^3 + 9x^2 - 2x - 2\) par le polynôme \(x^2 + 2\).

Le premier terme du quotient (\(6x^2\)) est obtenu en divisant le premier terme du dividende (\(6x^4\)) par le premier terme du diviseur (\(x^2\)).

On obtient alors la première ligne (1) en multipliant le diviseur (\(x^2 + 2\)) par le premier terme du quotient (\(6x^2\)). On poursuit ensuite en appliquant les règles usuelles de la division.

Le dernier terme (\(2x + 4\)), étant de degré inférieur à celui du diviseur, représente le reste de la division.

On a donc :

\(\dfrac{6x^4 - 2x^3 + 9x^2 - 2x - 2}{x^2 + 2} = 6x^2 - 2x - 3 + \dfrac{2x + 4}{x^2 + 2},\)

ou encore

\(6x^4 - 2x^3 + 9x^2 - 2x - 2=(x^2 + 2)(6x^2 - 2x - 3)+(2x + 4).\)

 

Loi du reste

Si le diviseur \(D(x)\) est un polynôme du premier degré de la forme \((x-a)\) , on a

\(P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+R(x)\)

où le degré de \(R\) est strictement inférieur au degré de \((x-a)\). Donc \(R(x)\) est une constante et on peut écrire

\(P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+R.\)

En prenant \(x=a\), on obtient :

\(P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+R=R.\)

On a donc le résultat suivant :

Proposition - Le reste de la division d'un polynôme par \((x-a)\) est égal à la valeur numérique de ce polynôme en \(x=a\), où \(a\in\mathbb{R}\).

On peut donc déterminer le reste d'une division d'un polynôme en \(x\) par \((x-a)\) sans déterminer le quotient et par là même vérifier si la division est exacte, c'est-à-dire si \(R=0\).

Par exemple, déterminons le reste de la division de \(P(x)= x^3-2x^2+x-1\) par \(x-4\). Ici, \(a=4\) et on obtient \(R=P(4)=4^3-2\cdot 4^2+4-1=35\).

 

Division d'un polynôme par \((x-a)\) : Règle de Horner

La règle de Horner ne peut être utilisée que lorsque le diviseur est un polynôme du premier degré.

Par exemple, divisons \(2x^4 - 18x^2 +2x + 5\) par \(x + 3\).

\(\begin{array}{c|cccc|c} &2&0&-18&2&5 \\ -3&&-6&18&0&\hline -6 \\ \hline &2&-6&0&2&-1 \end{array}\)

On dispose dans la première ligne du tableau les coefficients des puissances successives de \(x\) du dividende à commencer par la puissance la plus élevée; ainsi, 2 est le coefficient de \(x^4\), 0 celui de \(x^3\), -18 celui de \(x^2\), 2 celui de \(x\) et 5 est le terme indépendant.

Dans la première colonne de la deuxième ligne, on met le nombre \(a\) du polynôme diviseur lorsqu'il est mis sous la forme (\(x -a\)) (ici \(a = -3\) puisque le polynôme diviseur est \(x+3 = x - (-3)\)).

La troisième ligne est alors construite de gauche à droite de la manière suivante :

  • le premier élément est le coefficient de \(x^4\);
  • le deuxième élément (\(-6\)) est la somme du coefficient de \(x^3\) (0) et du produit de \(-3\) par l'élément précédement trouvé de la troisième ligne (\(2\)); ainsi, \(-6 = 0 + (-3)\cdot 2\);
  • le troisième élément (\(0\)) est la somme du coefficient de \(x^2\) (\(-18\)) et du produit de \(-3\) par l'élément précédement trouvé de la troisième ligne (\(-6\)); ainsi, \(0 = -18 + (-3)\cdot (-6)\);
  • ainsi de suite jusqu'au dernier élément de la ligne; ainsi, \(-1 = 5 + (-3)\cdot 2\).

On peut maintenant interpréter ce tableau : les éléments de la troisième ligne représentent les coefficients des puissances successives de \(x\) du quotient à commencer par la puissance la plus élevée. Comme \(P\) est de degré \(4\) et \(D\) est de degré \(1\), le polynôme \(Q\) est de degré \(4-1=3\) et donc \(Q(x)=2\cdot x^3+(-6)x^2+0\cdot x+2\).
Le dernier élément de cette ligne est le reste de la division, ici \(-1\).

On obtient finalement :

\(\dfrac{2x^4 -18x^2 + 2x +5}{x + 3 } = 2x^3 -6x^2 + 2 - \dfrac{1}{x+3}\)

ou encore

\(2x^4 -18x^2 + 2x +5=(x + 3)(2x^3 -6x^2 + 2)-1.\)

Pour voir le lien entre la division euclidienne et la Règle de Horner, vous pouvez cliquer ici.

Factorisation de polynômes

Définition - Factoriser un polynôme consiste à le transformer en produits de polynômes de degré plus petit.

Voici différentes méthodes pour décomposer en facteurs.

(a) Mise en évidence

Lorsque tous les termes d'une expression ont des facteurs communs, il faut toujours commencer par mettre ces facteurs en évidence.

Par exemple,

\(\begin{array}[t]{c} 17ax-34bx=17x(a-2b)\\ 3a^2b-3ab =3ab(a-1) \end{array}\)

(b) Emploi des identités remarquables

Si l'expression est le développement d'une identité remarquable, la factorisation est immédiate. Voici les produits remarquables les plus utilisés : pour \(a, b \in \mathbb{R}\), on a

\( \begin{array}{ll} \displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 & \qquad\displaystyle a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \\ \displaystyle (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 & \qquad\displaystyle a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \\ \displaystyle (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 & \qquad\displaystyle a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\ \displaystyle (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 & \\ \end{array}\)

Par exemple,

\(\begin{array}{ll} 4x^2 + 12x + 9=(2x + 3)^2& \qquad x^2 - 4=(x - 2)(x + 2) \\ x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2& \qquad x^3 - 8=(x - 2)(x^2 + 2x + 4) \\ x^3 + 6x^2 + 12x + 8=(x + 2)^3& \qquad x^3 + 27=(x + 3)(x^2 - 3x + 9) \\ x^3 - 3x^2 +3x - 1=(x - 1)^3& \\ \end{array}\)

(c) Groupement de termes

Un groupement peut faire apparaître un facteur commun ou une identité remarquable.

Par exemple,

\(\begin{array}{rcl} ax+bx+ay+by&=&a(x+y)+b(x+y)\\ &=&(x+y)(a+b) \end{array}\)

et

\(\begin{array}{rcl} a^2-b^2-c^2+2bc &=&a^2-(b^2+c^2-2bc)\\ &=&a^2-(b-c)^2\\ &=&[a-(b-c)][a+(b-c)]\\ &=&(a-b+c)(a+b-c) \end{array}\)

(d) Factorisation du trinôme du second degré

Le polynôme \(ax^2+bx+c\) se décompose sous la forme

\(ax^2 + bx + c = a (x - x_1)(x - x_2),\)

avec \(x_1 = \displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) et \(x_2 = \displaystyle\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) si \(b^2 - 4ac \geq 0\).

Remarque : Pour plus de détails, vous pouvez aller voir le chapitre sur les equations.

Par exemple, factorisons le polynôme \(\displaystyle 2x^2+5x+2\). On a

\(2x^2+5x+2=2(x+\textstyle\frac{1}{2})(x+2)=(2x+1)(x+2)\)

car

\(\displaystyle x_1=\frac{-5+\sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2\cdot 2}=\frac{-5+\sqrt 9}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2},\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-5-\sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2\cdot 2}=\frac{-5-\sqrt 9}{4}=\frac{-8}{4}=-2.\)

(e) Artifices de calculs

Voici quelques "trucs" qui permettent de se ramener à une des situations ci-dessus.

  1. Ajouter et retrancher un même terme, puis grouper.

    Par exemple,

    \(\begin{array}[t]{rl} a^4+4&=a^4+4+4a^2-4a^2\\ &=(a^2+2)^2-(2a)^2\\ &=(a^2+2+2a)(a^2+2-2a) \end{array}\)

  2. Dédoubler un terme, puis grouper.

    Par exemple,

    \(\begin{array}[t]{rl} x^3+5x+6&=x^3-x+6x+6\\ &=x(x^2-1)+6(x+1)\\ &=x(x+1)(x-1)+6(x+1)\\ &=(x+1)(x^2-x+6) \end{array}\)

  3. Effectuer, puis grouper.

    Par exemple,

    \(\begin{array}[t]{rl} a(a+c)-b(b-c)&=a^2+ac-b^2+bc\\ &=(a^2-b^2)+c(a+b)\\ &=(a+b)(a-b)+c(a+b)\\ &=(a+b)(a-b+c) \end{array}\)

(f) Méthode des diviseurs binômes

Pour déterminer un diviseur binôme \((x-a)\) d'un polynôme, on cherche parmi les diviseurs du terme indépendant, un nombre \(a\) (positif ou négatif) qui annule ce polynôme.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder preuve de cette affirmation.

Par exemple, factorisons le polynôme \(x^3+x+2\). Les diviseurs de \(2\) sont \(+1\), \(-1\), \(+2\), \(-2\). On calcule

\(P(1)=1^3+1+2 \neq 0,\)

\(P(-1)=(-1)^3+(-1)+2=0.\)

Le polynôme est donc divisible par \((x-(-1))=(x+1)\). On calcule ensuite le quotient par la méthode de Horner :

\(\begin{array}{c|ccc|c} &1&0&1&2 \\ \hline -1&&-1&1&-2 \\ \hline &1&-1&2&0 \end{array}\)

Le quotient est \(x^2-x+2\) et donc \(x^3+x+2=(x+1)(x^2-x+2)\).

Exemples détaillés

  1. Donner le degré du polynôme \(P(x)=2x^2+4x+2\), l'évaluer en \(x=3\) et trouver les racines de ce polynôme.

Solution détaillée : Le polynôme \(P\) est de degré 2 et on a

\(P(3)=2\cdot 3^2+4\cdot 3+2=18+12+2=32\).

Pour trouver les racines de \(P\), on va le factoriser. On a \(P(x)=2(x^2+2x+1)=2(x+1)^2\), ce polynôme s'annule donc en \(x=-1\). On a \(P(-1)=0\) et \(x=-1\) est la seule racine de \(P\).

 

  1. Effectuer la somme et le produit des polynômes \(P(x)=3x^3-2x+1\) et \(Q(x)=x^4-2x^3-x^2+4x-2\).

Solution détaillée : On obtient

\(\begin{array}{rcl} P(x)+Q(x) &= &3x^3-2x+1+x^4-2x^3-x^2+4x-2 \\ &= & x^4+x^3-x^2+2x-1 \end{array} \)

et

\(\begin{array}{rcl} P(x)\cdot Q(x) &= &(3x^3-2x+1)(x^4-2x^3-x^2+4x-2) \\ &= &3x^7-6x^6-3x^5+12x^4-6x^3-2x^5+4x^4+2x^3-8x^2\\ &&\hspace{6cm}+4x+x^4-2x^3-x^2+4x-2\\ &=&3x^7-6x^6-5x^5+17x^4-6x^3-9x^2+8x-2 \end{array} \)

 

  1. Effectuer la division de \(P(x)=x^5+x^4-3x^3+3x-2\) par \(D(x)=x^3-x+1\).

Solution détaillée : On fait le tableau suivant :

On obtient \(Q(x)=x^2+x-2\) et \(R(x)=0\), la division est donc exacte. On peut écrire

\(\dfrac{x^5+x^4-3x^3+3x-2}{x^3-x+1}=x^2 +x-2\)

ou encore

\(x^5+x^4-3x^3+3x-2=(x^3-x+1)(x^2 +x-2).\)

 

  1. Effectuer la division de \(P(x)=2x^4 -18x^2 + 2x +5\) par \(D(x)=x + 3\).

Solution détaillée : On fait le tableau suivant :

On obtient \(Q(x)=2x^3 -6x^2 + 2\) et \(R(x)=-1\). On peut écrire

\(\dfrac{2x^4 -18x^2 + 2x +5}{x + 3 } = 2x^3 -6x^2 + 2 - \dfrac{1}{x+3}\)

ou encore

\(2x^4 -18x^2 + 2x +5=(x + 3)(2x^3 -6x^2 + 2)-1.\)

Vu que le diviseur est un polynôme du premier degré, on peut également utiliser la règle de Horner pour effectuer cette division. On obtient

\(\begin{array}{c|cccc|c} &2&0&-18&2&5 \\ \hline -3&&-6&18&0&-6 \\ \hline &2&-6&0&2&-1 \end{array}\)

Le degré du quotient est \(4-1=3\) et ses coefficients se trouvent dans la dernière ligne du tableau. On trouve bien comme ci-dessus : \(Q(x)=2x^3 -6x^2 + 2\) et \(R(x)=-1\).

 

  1. Utiliser la règle de Horner pour diviser \(3x^3 - 6x^2 + 5x - 3\) par \(2x - 4\).

Solution détaillée : On ne peut pas utiliser directement la règle de Horner puisque le polynôme diviseur \(2x - 4\) n'est pas de la forme \(x - a\).
On remarque cependant que :

\(\dfrac{3x^3 - 6x^2 + 5x -3}{2x -4} =\dfrac{3x^3 - 6x^2 + 5x -3}{2(x -2)} =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3x^3 - 6x^2 + 5x -3}{x -2}. \)

On peut donc maintenant utiliser la règle de Horner pour diviser \(3x^3 - 6x^2 + 5x -3 \) par \(x - 2\).

\(\begin{array}{c|ccc|c} &3&-6&5&-3 \\ \hline 2&&6&0&10 \\ \hline &3&0&5&7 \end{array}\)

On obtient

\(\dfrac{3x^3 - 6x^2 + 5x -3}{x -2}=3 x^2 + 5 + \dfrac{7}{x-2}\)

et donc

\(\begin{array}{rcl} \dfrac{3x^3 - 6x^2 + 5x -3}{2x -4}& =&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3x^3 - 6x^2 + 5x -3}{x -2}\\ &&\\ &=&\dfrac{1}{2}\left( 3 x^2 + 5 + \dfrac{7}{x-2}\right) \\ &&\\ &=&\dfrac{3 x^2 + 5}{2}+\dfrac{7}{2x-4}. \end{array}\)

 

  1. Factoriser l'expression \(x^5-8x^3+16x\).

Solution détaillée : On commence par mettre \(x\) en évidence : \(x(x^4-8x^2+16)\).
On utilise alors le produit remarquable \((a-b)^2\) pour factoriser la parenthèse :

\(((x^2)^2-2\cdot 4(x^2)+4^2)=(x^2-4)^2.\)

Cette dernière parenthèse est du type \((a^2-b^2)\). On a donc \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).
On obtient finalement

\(x^5-8x^3+16x=x(x^2-4)^2=x[(x-2)(x+2)]^2=x(x-2)^2(x+2)^2\).

 

  1. Factoriser l'expression \((x-y)^3-y^3\).

Solution détaillée : En utilisant le produit remarquable \((a^3-b^3)\), on obtient

\((x-y)^3-y^3=((x-y)-y)((x-y)^2+(x-y)y+y^2).\)

On effectue ensuite le produit remarquable dans la parenthèse : \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\),
ainsi que la distributivité : \((x-y)y=xy-y^2\).
On obtient finalement

\(\begin{array}{rcl} (x-y)^3-y^3& =&(x-2y)(x^2-2xy+y^2+xy-y^2+y^2)\\ &=&(x-2y)(x^2-xy+y^2). \end{array}\)

 

  1. Factoriser l'expression \(x^7-3x^5+3x^3-x\).

Solution détaillée : En groupant les premier et quatrième termes, ainsi que les deux termes du milieu, on obtient

\((x^7-x)-(3x^5-3x^3)=x(x^6-1)-3x^3(x^2-1).\)

Pour pouvoir mettre \(x(x^2-1)\) en évidence, il faut faire apparaître \((x^2-1)\) dans le premier terme. Ce premier terme est du type \((a^3-b^3)\). On a donc

\((x^6-1)=((x^2)^3-1^3)=(x^2-1)((x^2)^2+x^2\cdot 1+1^2)=(x^2-1)(x^4+x^2+1).\)

On obtient alors

\(\begin{array}{rcl} x^7-3x^5+3x^3-x& =&x(x^6-1)-3x^3(x^2-1)\\ &=&x(x^2-1)(x^4+x^2+1)-3x^3(x^2-1)\\ &=&x(x^2-1)(x^4+x^2+1-3x^2)\\ &=&x(x^2-1)(x^4-2x^2+1). \end{array}\)

Le facteur \(x^4-2x^2+1\) est un produit remarquable du type \((a-b)^2\). On obtient

\(\begin{array}{rcl} x^7-3x^5+3x^3-x& =&x(x^2-1)(x^4-2x^2+1)\\ &=&x(x^2-1)((x^2)^2-2\cdot x^2\cdot 1+1^2)\\ &=&x(x^2-1)(x^2-1)^2\\ &=&x(x^2-1)^3. \end{array}\)

La dernière parenthèse est du type \((a^2-b^2)\) : \(x^2-1=(x-1)(x+1)\).
Finalement, on a

\(x^7-3x^5+3x^3-x=x[(x-1)(x+1)]^3=x(x-1)^3(x+1)^3.\)

 

  1. Factoriser l'expression \(x^8+9\).

Solution détaillée : En ajoutant et retirant la quantité \(6x^4\), on fait apparaître un produit remarquable du type \((a+b)^2\) :

\(\begin{array}{rcl} x^8+9& =&x^8+9+6x^4-6x^4\\ &=&((x^4)^2+2\cdot 3\cdot x^4+3^2)-6x^4\\ &=&(x^4+3)^2-6x^4. \end{array}\)

On a alors un produit remarquable du type \(a^2-b^2\) :

\(\begin{array}{rcl} (x^4+3)^2-6x^4& =&(x^4+3)^2-(\sqrt{6}x^2)^2\\ &=&(x^4+3-\sqrt{6}x^2)(x^4+3+\sqrt{6}x^2)\\ &=&(x^4-\sqrt{6}x^2+3)(x^4+\sqrt{6}x^2+3). \end{array}\)

Preuves

 

La Règle de Horner est une disposition pratique de la division euclidienne par \((x-a)\).

Pour simplifier l'écriture, considérons un polynôme de degré 3, \(P(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\), et divisions-le par un polynôme du premier degré \((x-a)\). La division euclidienne s'effecue de la manière suivante

\(b_1=a_2+a\cdot a_3\), \(b_0=a_1+a\cdot b_1\) et \(r=a_0+a\cdot b_0\).

On remarque que

  • Le coefficient du premier terme du quotient (\(a_3\)) est le coefficient du premier terme du dividende (\(a_3\));
  • Le coefficient du deuxième terme du quotient (\(b_1\)) s'obtient en ajoutant au coefficient du deuxième terme du dividende (\(a_2\)) le produit du coefficient du premier terme du quotient (\(a_3\)) par \(a\);
  • Le coefficient du troisième terme du quotient (\(b_0\)) s'obtient en ajoutant au coefficient du troisième terme du dividende (\(a_1\)) le produit du coefficient du deuxième terme du quotient (\(b_1\)) par \(a\);
  • Le reste (\(r\)) s'obtient en ajoutant au terme indépendant du dividende (\(a_0\)) le produit du terme indépendant du quotient (\(b_0\)) par \(a\).

Ceci peut également être écrit dans un tableau de Horner de la façon suivante

\(\begin{array}{c|ccc|c} &a_3&a_2&a_1&a_0 \\ \hline a&&+a.a_3&+a.b_1&+a.b_0 \\ \hline &a_3&b_1&b_0&r \end{array}\)

Ce résultat se généralise pour des polynômes de degré \(n\).

 

Pour déterminer un diviseur binôme \((x-a)\) d'un polynôme, on cherche parmi les diviseurs du terme indépendant, un nombre \(a\) (positif ou négatif) qui annule ce polynôme.

Soit \(P(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_1x+b_0\). On a

\(\begin{array}{rcl} P(a)=0 &\Leftrightarrow &b_na^n+b_{n-1}a^{n-1}+\cdots +b_1a+b_0=0 \\ &\Leftrightarrow & b_0=-(b_na^n+b_{n-1}a^{n-1}+\cdots +b_1a)\\ &\Leftrightarrow & b_0=-a(b_na^{n-1}+b_{n-1}a^{n-2}+\cdots +b_1) \end{array} \)

Donc \(a\) est racine de \(P\) si et seulement si \(a\) est un diviseur de \(b_0\). On peut alors écrire

\(\begin{array}{rcl} P \mbox{ est divisible par } x-a &\Leftrightarrow &P(a)=0 \\ &\Leftrightarrow & a \mbox{ est un diviseur du terme indépendant de } P \\ \end{array} \)

 

Théorie