Théorie du module : Calcul algébrique

Valeur absolue et distance

(a) Définitions

Définition - A partir du point de la droite réelle qui est associé à chaque nombre réel, on définit la valeur absolue d'un nombre \(a\) comme la distance de ce nombre à \(0\) et on l'écrit \(\vert a\vert\).

 

Par exemple, puisque le point 2 est à deux unités du point 0, la valeur absolue de 2 est 2. Puisque \(-3\) est à trois unités du point 0, la valeur absolue de \(-3\) est 3, soit \(-(-3)\). De façon générale,

\( \vert a\vert= \left\{ \begin{array}{rl} a &\mbox{ si } a\geq 0,\\ -a &\mbox{ si } a<0. \end{array} \right.\)

 

Par exemple, on a

\(\vert 3x-2\vert= \left\{ \begin{array}{rl} 3x-2 &\mbox{si } x\geq 2/3,\\ 2-3x &\mbox{si } x<2/3. \end{array} \right.\)

 

De la définition, il ressort directement que la valeur absolue d'un nombre est toujours un nombre positif ou nul, qu'un nombre est toujours inférieur ou égal à sa valeur absolue et que les nombres opposés ont même valeur absolue.

Par exemple,

\(\vert -\sqrt 2\vert=\vert \sqrt 2\vert =\sqrt 2,\)

ou pour un nombre \(a\) quelconque,

\(\vert a\vert=\vert -a\vert.\)

La proposition suivante donne le lien entre la valeur absolue et la racine carrée.

Si \(a\) est un nombre réel, alors

\(\vert a\vert^2=a^2,\)

d'où, en prenant la racine carrée positive :

\(\vert a\vert=\sqrt {a^2}.\)

 

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Définition - Si \(a\)et \(b\)sont des nombres réels quelconques, la distance entre \(a\)et \(b\)est la valeur absolue de la différence, à savoir \(|a-b|\), qui est aussi égale à \(|b-a|\).

(b) Propriétés

On suppose que \(a\) et \(b\) sont des nombres réels et que \(n\) est un entier. On a

  1. \(|ab|=|a||b|\),
  2. \(\displaystyle\left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|},\,\, (b\ne 0)\)
  3. \(|a^n|=|a|^n\),
  4. \(\vert a+b\vert\le\vert a\vert + \vert b\vert\) (inégalité triangulaire),
  5. \(\vert a-b\vert\ge \vert a\vert-\vert b\vert\).

 

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de ces affirmations.

Pour résoudre des équations ou des inéquations qui contiennent des valeurs absolues, il est souvent utile de faire appel aux énoncés suivants. Supposons \(a>0\), on a

 

  1. \(|x|=a\) si et seulement si \(x=a\) ou \(x=-a\),
  2. \(|x|<a\) si et seulement si \(-a<x<a\) \(|x|<a\)
  3. \(|x|>a\) si et seulement si \(x>a\) ou \(x<-a\).

 

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de ces affirmations.

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