Théorie du module : Calcul algébrique
Table des matières
- Priorité des opérations
- Règle des parenthèses
- Produit
- Fractions
- Proportions et règle de trois
- Pourcentages
- Puissances n-ième
- Racine n-ième
- Valeur absolue et distance
- Moyennes
- Exemples détaillés
Valeur absolue et distance
(a) Définitions
Par exemple, puisque le point 2 est à deux unités du point 0, la valeur absolue de 2 est 2. Puisque \(-3\) est à trois unités du point 0, la valeur absolue de \(-3\) est 3, soit \(-(-3)\). De façon générale,
Par exemple, on a
\(\vert 3x-2\vert= \left\{ \begin{array}{rl} 3x-2 &\mbox{si } x\geq 2/3,\\ 2-3x &\mbox{si } x<2/3. \end{array} \right.\)
De la définition, il ressort directement que la valeur absolue d'un nombre est toujours un nombre positif ou nul, qu'un nombre est toujours inférieur ou égal à sa valeur absolue et que les nombres opposés ont même valeur absolue.
Par exemple,
\(\vert -\sqrt 2\vert=\vert \sqrt 2\vert =\sqrt 2,\)
ou pour un nombre \(a\) quelconque,
\(\vert a\vert=\vert -a\vert.\)
La proposition suivante donne le lien entre la valeur absolue et la racine carrée.
\(\vert a\vert^2=a^2,\)
d'où, en prenant la racine carrée positive :\(\vert a\vert=\sqrt {a^2}.\)
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.
(b) Propriétés
On suppose que \(a\) et \(b\) sont des nombres réels et que \(n\) est un entier. On a
- \(|ab|=|a||b|\),
- \(\displaystyle\left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|},\,\, (b\ne 0)\)
- \(|a^n|=|a|^n\),
- \(\vert a+b\vert\le\vert a\vert + \vert b\vert\) (inégalité triangulaire),
- \(\vert a-b\vert\ge \vert a\vert-\vert b\vert\).
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de ces affirmations.
Pour résoudre des équations ou des inéquations qui contiennent des valeurs absolues, il est souvent utile de faire appel aux énoncés suivants. Supposons \(a>0\), on a
- \(|x|=a\) si et seulement si \(x=a\) ou \(x=-a\),
- \(|x|<a\) si et seulement si \(-a<x<a\) \(|x|<a\)
- \(|x|>a\) si et seulement si \(x>a\) ou \(x<-a\).
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de ces affirmations.