Théorie du module : Calcul algébrique

Priorité des opérations

Pour effectuer le calcul d'une expression algébrique, il faut procéder dans l'ordre suivant :

• calculer les expressions entre parenthèses, en commençant par les parenthèses intérieures,
• calculer les numérateurs et dénominateurs de fractions,
• calculer les expressions sous un radical,
• calculer les puissances et les racines,
• effectuer les produits et les quotients,
• effectuer les sommes et les différences.

 

Règle des parenthèses

Lors du calcul de sommes ou de différences où interviennent des parenthèses :

• on peut supprimer les parenthèses précédées du signe \(+\) sans changer les signes des opérations situées dans la parenthèse,
• on peut supprimer les parenthèses précédées du signe \(-\) à condition de changer les signes des opérations situées dans la parenthèse.

On a donc

\(\begin{array}{c} a+(b+c)=a+b+c \\ a+(b-c)=a+b-c \\ a-(b+c)=a-b-c \\ a-(b-c)=a-b+c \end{array}\)

Produit

Le produit de deux nombres réels de même signe est un nombre réel positif. Le produit de deux nombres réels de signes différents est un nombre réel négatif. Pour \(a, b, c\in\mathbb{R}\), on a

\( a\cdot(-b)=(-a)\cdot b=-ab\mbox{ et }(-a)\cdot (-b)=ab.\)

Dans l'ensemble des nombres réels, on peut distribuer la multiplication par rapport à l'addition. Pour \(a, b, c\in\mathbb{R}\), on a

\(a(b+c)=ab+ac\mbox{ et }(a+b)c=ac+bc.\)

 

Ces propriétés sont utilisées pour effectuer des produits particuliers. On obtient ainsi les produits remarquables suivants : pour \(a, b \in \mathbb{R}\), on a

 

\( \begin{array}{ll} \displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 & \qquad\displaystyle (a - b)(a + b)=a^2 - b^2 \\ \displaystyle (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 & \qquad\displaystyle (a - b)(a^2 + ab + b^2)=a^3 - b^3 \\ \displaystyle (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 & \qquad\displaystyle (a + b)(a^2 - ab + b^2) =a^3 + b^3 \\ \displaystyle (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 & \\ \end{array}\)

 

Par exemple,

\(\begin{array}{ll} (2x + 3)^2=4x^2 + 12x + 9& \qquad (x - 2)(x + 2)=x^2 - 4 \\ (x - 1)^2=x^2 - 2x + 1& \qquad (x - 2)(x^2 + 2x + 4) =x^3 - 8\\ (x + 2)^3=x^3 + 6x^2 + 12x + 8& \qquad (x + 3)(x^2 - 3x + 9)=x^3 + 27 \\ (x - 1)^3=x^3 - 3x^2 +3x - 1& \\ \end{array}\)

Fractions

(a) Propriété fondamentale des fractions

Si \(a\), \(b\) et \(k\) sont des nombres entiers tels que \(b\neq 0\) et \(k\neq 0\), on a toujours

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}.\)

On dira que les fractions \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{ak}{bk}\) sont équivalentes.

Simplifier une fraction consiste à diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre entier \(k\neq 0\). Si on simplifie une fraction, la nouvelle fraction sera équivalente à la fraction de départ. Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, et donc la fraction ne peut plus être simplifiée.

Par exemple, les fractions \(\frac{24}{36}\) et \(\frac{4}{6}\) sont équivalentes car on a \(\frac{24}{36}=\frac{4\cdot 6}{6\cdot 6}=\frac{4}{6}\).

La fraction \(\frac{4}{6}\) n'est pas irréductible car on peut encore la simplifier \(\frac{4}{6}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}\) mais la fraction \(\frac{2}{3}\) est irréductible.

(b) Opérations sur les fractions

Simplification de fractions

On peut toujours écrire

\(\dfrac{a}{a}=1,\hspace{5mm}\dfrac{a}{1}=a,\hspace{5mm}\dfrac{a}{-1}=-a,\hspace{5mm}\dfrac{0}{a}=0. \)

Pour simplifier une fraction, on factorise le numérateur et le dénominateur. On simplifie alors les termes communs aux numérateur et dénominateur.

\(\dfrac{a\cdot d}{b\cdot d}=\dfrac{a}{b},\,\, \mbox{où }b, d\neq 0.\)

Par exemple, \(\dfrac{25}{35}=\dfrac{5\cdot 5}{7\cdot 5}=\dfrac{5}{7}\) et \(\dfrac{8a^3b^5c^2}{12a^2b^7c}=\dfrac{4a^2b^5c(2ac)}{4a^2b^5c(3b^2)}=\dfrac{2ac}{3b^2}\).

Pour revoir la factorisation, cliquez ici.

Afin de simplifier une fraction, il est souvent utile de pouvoir calculer le plus grand commun diviseur des numérateur et dénominateur.

Par exemple, \(\dfrac{24}{160}=\dfrac{2^3\cdot 3}{2^5\cdot 5}=\dfrac{2^3\cdot 3}{2^3\cdot 2^2\cdot 5}=\dfrac{3}{20}\). En effet, le P.G.C.D. des nombres \(24\) et \(160\) est \(2^3=8\).

Pour revoir le calcul du P.G.C.D., cliquez ici.

 

Somme et différence de deux fractions

Pour additionner deux fractions, on les réduit au même dénominateur et on additionne les numérateurs entre eux. Pour soustraire deux fractions, on les réduit au même dénominateur et on soustrait les numérateurs.

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot d}+\dfrac{b\cdot c}{b\cdot d}=\dfrac{ad + bc}{bd},\, \, \mbox{où }b, d \neq 0\)

et

\(\dfrac{a}{b}+c=\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{1}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b\cdot c}{b}=\dfrac{a+ bc}{b},\, \, \mbox{où }b\neq 0.\)

 

Par exemple, \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 2}{2\cdot 5}=\dfrac{9}{10}\) et \(\dfrac{11}{12}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{11-2\cdot 2}{2\cdot 6}=\dfrac{7}{12}\).

Afin de simplifier les calculs de somme et différence de fractions, il est souvent utile de pouvoir calculer leur plus petit commun multiple.

Pour revoir le calcul du P.P.C.M., cliquez ici.

 

Multiplication de deux fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\(\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd},\, \, \mbox{où }b, d \neq 0 .\)

Par exemple, \(\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5}{7}=\dfrac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\dfrac{10}{21}\).

 

Division de deux fractions

Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l'inverse de la seconde.

\(\begin{array}{l} \dfrac{a}{b}/\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc},\, \, \mbox{où }b, c, d\neq 0, \\ \\ \dfrac{a}{b}/c=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{1}{c}=\dfrac{a}{bc},\, \, \mbox{où }b, c, d\neq 0, \\ \\ a/\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{1}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{c},\, \, \mbox{où }b, c, d\neq 0. \end{array} \)

 

Par exemple, \(\dfrac{25}{32}/\dfrac{35}{64}=\dfrac{25}{32}\cdot\dfrac{64}{35}=\dfrac{5\cdot 5\cdot 32\cdot 2}{32\cdot 7 \cdot 5}=\dfrac{5\cdot 2}{7}=\dfrac{10}{7}\).

(c) Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple

Afin de simplifier une fraction, il est souvent utile de pouvoir calculer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) des numérateur et dénominateur.

Afin de simplifier les calculs de somme et différence de fractions, il est souvent utile de pouvoir calculer leur plus petit commun multiple (P.P.C.M.).

Recherche du P.P.C.M. et P.G.C.D. de deux ou plusieurs nombres entiers

1. Décomposer chaque nombre en facteurs premiers, c.à.d. en un produit de nombres premiers.
2. - Le P.P.C.M. (plus petit commun multiple) est le produit de tous les facteurs premiers, chacun étant pris avec son plus grand exposant.
   - Le P.G.C.D. (plus grand commun diviseur) est le produit des facteurs premiers communs, chacun étant pris avec son plus petit exposant.

Par exemple, calculons le P.P.C.M. et le P.G.C.D. des nombres 360 , 500 , 300 . On a

\(\begin{array}{l|l l|l l|l} 360 &\,\, 2 \qquad & 500 &\,\, 2 \qquad &300 &\,\, 2 \\ 180 &\,\, 2 \qquad & 250 &\,\, 2 \qquad & 150 &\,\, 2 \\ 90 &\,\, 2 \qquad & 125 &\,\, 5\qquad &75 &\,\, 3 \\ 45 &\,\, 3\qquad & 25 &\,\, 5 \qquad &25 &\,\, 5 \\ 15 &\,\, 3 \qquad & 5 &\,\, 5\qquad &5 &\,\, 5 \\ 5 &\,\, 5 \qquad& 1 &\qquad &1 & \\ 1 &\,\, \qquad& & \qquad& & \\ \end{array}\)

et donc \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\), \(500 = 2^2 \cdot 5^3\) et\(300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2\).
Le P.P.C.M. de ces 3 nombres est \(\displaystyle 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 9000\)
Le P.G.C.D. de ces 3 nombres est \(\displaystyle 2^2 \cdot 5 = 20\).

Proportions et règle de trois

Dans une proportion, le produit des moyens est toujours égal au produit des extrêmes.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

En particulier, \(\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\) ne signifie pas nécessairement que \(x=3\) et \(y=2\) mais que \(2x=3y\). Donc, \(x=6\) et \(y=4\) conviennent aussi par exemple.

 

Règle de trois

La règle de trois permet de déterminer le quatrième nombre d'une proportion \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) si les trois autres sont connus. Deux cas peuvent se présenter :

• on veut calculer l'un des numérateurs, par exemple \(a\), en connaissant \(b\), \(c\) et \(d\). En multipliant la proportion \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) par \(b\), on obtient \(a = \frac{b\cdot c}{d}\).
• on veut calculer l'un des dénominateurs, par exemple \(d\), en connaissant \(a\), \(b\) et \(c\). Puisque dans une proportion le produit des moyens est égal au produit des extrêmes, la proportion \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nous donne \(a\cdot d=b\cdot c\) et de là, en divisant par \(a\), on obtient \(d=\frac{b\cdot c}{a}\).

Remarque : Pour calculer \(d\), on peut faire une étape intermédiaire en passant par l'unité. On a

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\frac{b}{a}}=\dfrac{c}{\frac{b\cdot c}{a}}\)

et donc \(d=\dfrac{b\cdot c}{a}\).

Par exemple, déterminer le prix de \(1,5\) kg de fraises si \(2\) kg de fraises coûtent \(10\) euros. Si \(x\) représente le prix de \(1,5\) kg de fraises, on peut construire le tableau

\(\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{nombre de kg}&\mbox{prix en euros}\\ \hline 2&10\\ \hline 1,5&x\\ \hline \end{array}\)

On en déduit \(\dfrac{2}{10}=\dfrac{1,5}{x}\) c'est-à-dire \(2x=1,5\cdot 10\) et donc \(x=\dfrac{15}{2}=7,5\) euros.

En passant par l'unité, si \(x\) représente le prix de \(1,5\) kg de fraises, on a

• pour acheter \(2\) kg de fraises, il faut \(10\) euros,
• pour acheter \(1\) kg de fraises, il faudra \(\dfrac{10}{2}\) euros,
• pour acheter \(1,5\) kg de fraises, il faudra \(1,5\cdot \dfrac{10}{2}=\dfrac{15}{2}=7,5\) euros.

Pourcentages

Par exemple, en classe il y a \(60\%\) de garçons signifie que le rapport entre le nombre de garçons et le nombre total d'élèves de la classe est le même que le rapport de \(60\) à \(100\).

Dire qu'une route a une pente de \(10\%\) signifie que sur \(100\) mètres, il y a un dénivellé de \(10\) mètres, c'est-à-dire que le rapport entre la différence de hauteur et la différence de longueur horizontale est le même que le rapport de \(10\) à \(100\).

(a) Calcul de pourcentage

Pour obtenir le pourcentage correspondant au rapport \(\frac{a}{b}\), on effectue la division de \(a\) par \(b\) et on multiplie par \(100\).

Par exemple, si dans la classe il y a \(15\) garçons sur \(23\) élèves, cela signifie que la proportion de garçons par rapport au nombre total d'élèves est

\(\dfrac{15}{23}=0,6521\ldots.\)

Il y a donc \(65,21\%\) de garçons dans la classe.

 

Soit \(x\) un nombre réel tel que \(0<x<100\).

Pour calculer \(x\%\) du nombre \(a\), on multiplie \(a\) par \(\dfrac{x}{100}\).

Par exemple, calculer \(15\%\) de \(49\) euros. On a

\(49\cdot\dfrac{15}{100}=\dfrac{735}{100}=7,35\mbox{ euros}\)

ou encore

\(49\cdot 0,15=7,35\mbox{ euros}.\)

(b) Réduction de pourcentage

Pour réduire un nombre \(a\) de \(x\%\), on calcule \((100-x)\%\) de \(a\).

Par exemple, une réduction de \(30\%\) sur un pull de \(65\) euros signifie qu'on paiera \(70\%\) du prix du pull et donc

\(65\cdot \dfrac{100-30}{100}=65\cdot \dfrac{70}{100}=\dfrac{4550}{100}=45,5\mbox{ euros}.\)

(c) Augmentation de pourcentage

Pour augmenter un nombre \(a\) de \(x\%\), on calcule \((100+x)\%\) de \(a\).

Par exemple, une augmentation de \(5\%\) du prix d'un pain de \(2,10\) euros signifie qu'on paiera \(105\%\) du prix du pain et donc

\(2,10\cdot \dfrac{105}{100}=\dfrac{220,5}{100}=2,205\mbox{ euros}.\)

Un livret qui rapporte \(1,25\%\) par an signifie que si on a placé \(500\) euros sur ce livret, après un an on aura

\(500\cdot \dfrac{101,25}{100}=506,25\mbox{ euros}.\)

Puissances n-ième

(a) Définition

Lorsqu'on multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même, comme \(2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2\), \(n\) fois (où \(n\) est entier positif), on définit la puissance \(n^{\text{ième}}\) de 2. On notera ce nombre \(2^n\) qu'on peut aussi lire comme "2 exposant \(n\)".

Pour tout \(a \in {\mathbb{R}_0}\), \(n \in {\mathbb{N}_0}\), on a

 

Par exemple, on a \(10^0 = 2^0 = 8^0 = 1\), \(12^1 =12\), \(3^4 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81\), \(\pi^2 = \pi \cdot \pi\),
\(3^{-4} =\dfrac{1}{3^4} =\dfrac{1}{81}\), \(0^3 = 0^{10} = 0\).

Remarque :

• \(0^0\) n'est pas défini.
• Toute puissance d'un réel positif est positive.
• Toute puissance d'un réel négatif est positive si l'exposant est pair et négative si l'exposant est impair.

(b) Propriétés

Les puissances entières vérifient les propriétés suivantes : pour tout \(a , b \in {\mathbb{R}_0}\ ,\ m , n \in\mathbb{Z}\), on a

 

Par exemple \( (2\cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3\), \(\left(\dfrac{4}{7}\right)^2 =\dfrac{16}{49}\), \((10^2)^3 = 10^6\), \(2^3 \cdot 2^2 =2^5\), \(\dfrac{2^3}{2^4} =\dfrac{1}{2}\).

On peut étendre la notion de puissance à des exposants fractionnaires.

Racine n-ième

(a) Définition

Par exemple, \( 2^3 = 8\Rightarrow 2 = \root 3 \of 8 = 8^{1/3}\).

Remarque :

• Si \(n\) est pair alors \(a\) doit être positif (ceci est la condition d'existence de la racine \(n\)-ième).
• Si \(n\) est impair et \(a < 0 \), on pose\(\sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{-a}\).

 

Par exemple, \(\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2 \).

De manière plus générale, on peut définir les puissances rationnelles de \(a\) :

 

Par exemple, \(2^{3/4} = \sqrt[4]{2^3}\), \(3^{-2/3} =\dfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}}\).

(b) Propriétés

Les puissances rationnelles d'un nombre positif vérifient les propriétés suivantes : si \( a , b \in {\mathbb{R}^+}\), \(m , n \in\mathbb{N}_0\), on a

 

 

Par exemple, \(\sqrt[3]{14}=\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}\), \(\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\), \(\sqrt[3]{49}=(\sqrt[3]{7})^2\), \(\sqrt[3]{\sqrt{3}}=\sqrt[6]{3}\).

Remarque :

• \(0^{-n} \ (n\in\mathbb{N})\) n'est pas défini dans \(\mathbb{R}\).
• \(\forall a , b \in {\mathbb{R}_0^+} , n \in \mathbb{N} : \root n \of {a + b} \neq \root n \of a + \root n \of b \).

Par exemple, \(\sqrt {13} \neq \sqrt 4 + \sqrt 9\).

• \(\sqrt{(-2)(-8)} \neq \sqrt{(-2)} \sqrt{(-8})\)
• \(\sqrt{(-5)^2} \neq (-5)^{2/2}\)
• \(\root 3 \of 2 = \root 6 \of {2^2}\,\) mais \(\,\root 3 \of {-8} \neq \root 6 \of {(-8)^2}\)

(c) Calcul avec des racines

On ne peut aditionner ou soustraire que des racines semblables, c'est-à-dire de même indice et même radicand.

Remarque : Attention : \(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\neq\sqrt[n]{a+b}\).

Par exemple, \(\sqrt[4]{a}+3\sqrt[4]{a}-2\sqrt[4]{a}=2\sqrt[4]{a}\) et
\(\root 3 \of {24} + 5 \root 3 \of 3 - \root 3 \of {81} = 2 \root 3\of 3 + 5 \root 3 \of 3 - 3 \root 3 \of 3 = 4 \root 3 \of 3\).

Pour multiplier et diviser des racines, on les réduit au même indice et on applique les propriétés.
Afin de simplifier les calculs de sommes et produits de radicaux d'indices différents, on est amené à calculer le plus petit commun multiple des indices.

Par exemple, \(\root 6 \of a \cdot \root 4 \of a = \root {12} \of {a^2} \cdot \root{12} \of {a^3} = \root {12} \of {a^2 \cdot a^3} = \root {12} \of {a^5} \ \ \ (a \in {\mathbb{R}^+})\).
\(\displaystyle \root 3 \of {256} = \root 3 \of {2^8} = \root 3 \of {2^3\cdot 2^3\cdot 2^2} = 2\cdot 2\cdot \root 3 \of {2^2} =4\root 3 \of 4\).

Il est bien souvent utile de pouvoir rendre rationnel le dénominateur d'une fraction. Pour cela, on se rappelle que

\(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\)

et

\((\sqrt a + \sqrt b) (\sqrt a - \sqrt b)= a - b.\)

Par conséquent,

• si le dénominateur est de la forme \(a\sqrt b\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt b\).

Par exemple, \({1 + \sqrt 8 \over 3\sqrt2 } = {(1 + \sqrt 8)\sqrt2 \over 3\sqrt2 \sqrt2} = {\sqrt2 + \sqrt8\cdot \sqrt2 \over 6} = {\sqrt2 + 4 \over 6}\).

• si le dénominateur est de la forme \(\displaystyle{(\sqrt a + \sqrt b)}\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\displaystyle{(\sqrt a - \sqrt b)}\) qu'on appelle binôme conjugué.

Par exemple, \({1 \over \sqrt5 + \sqrt2} = {\sqrt5 - \sqrt2 \over (\sqrt5 + \sqrt2)(\sqrt5 - \sqrt2)} = {\sqrt5 - \sqrt 2 \over 5 - 2} = {\sqrt5 - \sqrt2 \over 3}\).

(d) Remarque importante sur la racine carrée

La racine carrée est définie pour les nombres réels positifs. Son résultat est un nombre réel positif.
Pour plus de détails concernant la fonction "racine carrée", cliquez ici.
Par conséquent, on a

\(\sqrt{9}=3\hspace{5mm}\mbox{(et pas }\sqrt{9}=-3 !)\)

Par contre, il existe deux nombres réels dont le carré est égal à un nombre donné.
On a donc \(x^2=9\) si et seulement si \(x=3\) ou \(x=-3\). Cela est dû au fait que \(\sqrt{x^2}=\vert x\vert=\pm x\) et donc

\(x^2=9\Leftrightarrow\sqrt{x^2}=\sqrt{9}\Leftrightarrow\pm x=3\Leftrightarrow x=\pm 3.\)

Pour plus de détails concernant la valeur absolue, cliquez ici.

Voici où peut mener une mauvaise utilisation des racines :

\(4-10=9-15\)

donc

\(2^2-2.2.\frac{5}{2}=3^2-2.3.\frac{5}{2}\)

donc

\(2^2-2.2.\frac{5}{2}+(\frac{5}{2})^2=3^2-2.3.\frac{5}{2}+(\frac{5}{2})^2\)

donc

\((2-\frac{5}{2})^2=(3-\frac{5}{2})^2\)

donc (!!!!)

\(2-\frac{5}{2}=3-\frac{5}{2}\)

donc

\(2=3\)

Valeur absolue et distance

(a) Définitions

 

Par exemple, puisque le point 2 est à deux unités du point 0, la valeur absolue de 2 est 2. Puisque \(-3\) est à trois unités du point 0, la valeur absolue de \(-3\) est 3, soit \(-(-3)\). De façon générale,

 

Par exemple, on a

\(\vert 3x-2\vert= \left\{ \begin{array}{rl} 3x-2 &\mbox{si } x\geq 2/3,\\ 2-3x &\mbox{si } x<2/3. \end{array} \right.\)

 

De la définition, il ressort directement que la valeur absolue d'un nombre est toujours un nombre positif ou nul, qu'un nombre est toujours inférieur ou égal à sa valeur absolue et que les nombres opposés ont même valeur absolue.

Par exemple,

\(\vert -\sqrt 2\vert=\vert \sqrt 2\vert =\sqrt 2,\)

ou pour un nombre \(a\) quelconque,

\(\vert a\vert=\vert -a\vert.\)

La proposition suivante donne le lien entre la valeur absolue et la racine carrée.

 

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

(b) Propriétés

On suppose que \(a\) et \(b\) sont des nombres réels et que \(n\) est un entier. On a

 

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de ces affirmations.

Pour résoudre des équations ou des inéquations qui contiennent des valeurs absolues, il est souvent utile de faire appel aux énoncés suivants. Supposons \(a>0\), on a

 

 

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de ces affirmations.

Moyennes

(a) Moyenne arithmétique

Par exemple, lors de ses interrogations, un élève a obtenu les résultats sur \(20\) suivants : \(13,\, 6,\, 12, \, 12,\, 15,\, 9,\, 17\). Calculer sa moyenne. Il y a \(7\) notes. La moyenne est

\(\bar{x}=\dfrac{13+6+12+12+15+9+17}{7}=\dfrac{84}{7}=12.\)

Sa note moyenne est de \(12\) sur \(20\).

Remarque : Si on augmente toutes les valeurs \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots, x_n\) du même nombre \(k\) alors la moyenne augmente aussi de \(k\).  Si on multiplie toutes les valeurs \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots, x_n\) par le même nombre \(k\) alors la moyenne est aussi multipliée par \(k\).

(b) Moyenne géométrique

Si on place la somme de \(1000\) euros pendant \(10\) ans, à un taux de \(6\%\) par an les quatre premières années, \(7\%\) par an les trois suivantes et \(8\%\) par an les trois dernières, calculer le taux d'intérêt moyen durant ces \(10\) ans. Après \(10\) ans, le capital augmenté des intérêts est

\(X_{10}=1000\cdot (1,06)^4\cdot (1,07)^3\cdot (1,08)^3.\)

Le taux d'intérêt moyen \(T\) est le taux qui aurait produit le même intérêt au bout de \(10\) ans :

\(X_{10}=1000\cdot (1+T)^{10}.\)

Il faut donc trouver \(T\) tel que

\((1+T)^{10}=(1,06)^4\cdot (1,07)^3\cdot (1,08)^3.\)

On calcule

\(1+T=\sqrt[10]{(1,06)^4\cdot (1,07)^3\cdot (1,08)^3}\)

et donc

\(T=\sqrt[10]{(1,06)^4\cdot (1,07)^3\cdot (1,08)^3}-1=0,06896\ldots.\)

Le taux moyen est de \(6,89\%\). Il est obtenu en calculant la moyenne géométrique des différents taux d'intérêt.

Exemples détaillés

1. Simplifier l'expression \(\dfrac{2/3+3/4}{5/6-7/8}\).

Solution détaillée : Commençons par calculer le numérateur.

\(\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2\cdot 4+3\cdot 3}{3\cdot 4}=\dfrac{8+9}{12}=\dfrac{17}{12}.\)

Calculons ensuite le dénominateur. Le P.P.C.M. entre \(6\) et \(8\) est \(24\), donc

\(\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{8}=\dfrac{5\cdot 4}{6\cdot 4}-\dfrac{7\cdot 3}{8\cdot 3}=\dfrac{20}{24}-\dfrac{21}{24}=-\dfrac{1}{24}. \)

On peut finalement écrire

\(\dfrac{2/3+3/4}{5/6-7/8}=\dfrac{17/12}{-1/24}=\dfrac{17}{12}\cdot \left(-\dfrac{24}{1}\right)=-34.\)

 

2. Simplifier l'expression \(\displaystyle\left( \dfrac{a^2b^3c^{-2}}{a^3b^2c}\right)^{-1}\).

Solution détaillée : On calcule

\(\dfrac{a^2b^3c^{-2}}{a^3b^2c}=a^{2-3}b^{3-2}c^{-2-1}=a^{-1}b^1c^{-3}=\dfrac{b}{ac^3}.\)

Donc

\(\left( \dfrac{a^2b^3c^{-2}}{a^3b^2c}\right)^{-1}=\left( \dfrac{b}{ac^3}\right)^{-1}=\dfrac{ac^3}{b}.\)

 

3. Simplifier l'expression \(\displaystyle \sqrt[n]{\sqrt[3]{a^{2n}b^{3n}}}\).

Solution détaillée : En utilisant les exposants fractionnaires, on peut écrire

\(\sqrt[n]{\sqrt[3]{a^{2n}b^{3n}}}=(\sqrt[3]{a^{2n}b^{3n}})^{1/n}=((a^{2n}b^{3n})^{1/3})^{1/n}.\)

Par les propriétés, on a

\(((a^{2n}b^{3n})^{1/3})^{1/n}=(a^{2n}b^{3n})^{1/3n}=a^{2n/3n}b^{3n/3n}=a^{2/3}b=\sqrt[3]{a^2}b.\)

 

4. Calculer \(2\sqrt[6]{a^2}-\sqrt[3]{27a}+\sqrt[3]{a}\).

Solution détaillée : En utilisant les exposants fractionnaires, on peut écrire \(2\sqrt[6]{a^2}-\sqrt[3]{27a}+\sqrt[3]{a}=2a^{2/6}-27^{1/3}a^{1/3}+a^{1/3}=2a^{1/3}-3a^{1/3}+a^{1/3}=0. \)

 

5. Rendre rationnel le dénominateur de la fraction \(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\).

Solution détaillée : En multipliant haut et bas par \(\sqrt{6}\), on obtient

\(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\dfrac{(3\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{6}}{6}=\dfrac{3\sqrt{12}+\sqrt{18}}{6}. \)

Comme \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{4}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{9}\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), on obtient finalement

\(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\dfrac{3\sqrt{12}+\sqrt{18}}{6}=\dfrac{6\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}=\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\)

 

6. Rendre rationnel le dénominateur de la fraction \(\dfrac{\sqrt{14}+\sqrt{15}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\).

Solution détaillée : En multipliant haut et bas par le binôme conjugué du dénominateur \(\sqrt{7}+\sqrt{5}\), on obtient

\(\begin{array}{rcl} \dfrac{\sqrt{14}+\sqrt{15}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} &= &\dfrac{(\sqrt{14}+\sqrt{15})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} \\ &= &\dfrac{\sqrt{14}\sqrt{7}+\sqrt{14}\sqrt{5}+\sqrt{15}\sqrt{7}+\sqrt{15}\sqrt{5}}{7-5} \\ &= &\dfrac{\sqrt{2\cdot 7\cdot 7}+\sqrt{2\cdot 7\cdot 5}+\sqrt{3\cdot 5\cdot 7}+\sqrt{3\cdot 5\cdot 5}}{2} \\ &= & \dfrac{7\sqrt{2}+\sqrt{70}+\sqrt{105}+5\sqrt{3}}{2}. \end{array} \)

 

7. Résoudre \(|2x-5|=3\).

Solution détaillée : En vertu de la Propriété 6 des valeurs absolues, \(|2x-5|=3\)est équivalent à

\(2x-5=3 \quad \mbox{ ou }\quad 2x-5=-3.\)

Aussi, \(2x=8\) ou \(2x=2\). D'où \(x=4\) ou \(x=1\). La solution est l'ensemble à deux éléments \(S=\{1,4\}\).

Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d'équations, allez voir la section Equations.

 

8. Résoudre l'inéquation \(|3x+2|\geq 4\).

Solution détaillée : Eu égard aux Propriétés 6 et 8, \(|3x+2|\geq 4\) est équivalent à

\(3x+2\geq 4 \quad \mbox{ ou }\quad 3x+2\leq -4.\)

Dans le premier cas, \(3x\geq 2\) ou \(x\geq \frac 23\). Dans le second cas, \(3x\leq -6\), qui donne \(x\leq -2\). La solution est donc

\(\{x\in\mathbb{R}\, :\, x\leq -2 \quad \mbox{ou}\quad x\geq \textstyle\frac 23\}=]-\infty,-2]\cup\,[\textstyle\frac 23,\infty[.\)

Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d'inéquations, allez voir la section Inéquations.

 

9. Résoudre l'équation \(\displaystyle |x+3|=|2x+1|\).

Solution détaillée : On a

\(\vert x+3\vert= \left\{ \begin{array}{cc} x+3 &\mbox{si } x\geq -3,\\ -x-3 &\mbox{si } x<-3. \end{array} \right.\)   \(\vert 2x+1\vert= \left\{ \begin{array}{ll} 2x+1 &\mbox{si } x\geq -\frac{1}{2},\\ -2x-1 &\mbox{si } x<-\frac{1}{2}. \end{array} \right.\)

Ceci nous détermine trois régions de la droite réelle :
Si \(x<-3\), l'équation devient \(-x-3=-2x-1\), c'est-à-dire \(x=2\). Ceci est impossible puisque \(x<-3\).
Si \(-3\leq x<-\frac{1}{2}\), l'équation devient \(x+3=-2x-1\), c'est-à-dire \(x=-\frac{4}{3}\).
Si \(x\geq-\frac{1}{2}\), l'équation devient \(x+3=2x+1\), c'est-à-dire \(x=2\).
On obtient ainsi la solution de l'équation \(S=\{-\frac{4}{3}, 2\}\).

Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d'équations, allez voir la section Equations.

 

10. Ecrire avec des valeurs absolues l'intervalle \([\,-3,+7\,]\).

Solution détaillée : L'intervalle \([\,-3,+7\,]\) est de longueur \(10\). Il faut donc que la valeur absolue soit inférieure ou égale à \(5\). On obtient

\(\begin{array}{rcl} [-3,7] & = & \{x\in\mathbb{R}\, :\, -3\leq x\leq 7\} \\ &= & \{x\in\mathbb{R}\, :\, -5\leq x-2\leq 5\} \\ &= &\{x\in\mathbb{R}\, :\, \vert x-2\vert\leq 5\} \end{array} \)

 

11. Un élève a obtenu les résultats suivants (sur \(20\)) à ses tests : \(3,\, 6,\, 2,\, 5,\, 10,\, 9,\, 7\). Calculer sa moyenne. Que devient cette moyenne si tous les résultats sont multipliés par deux ? Que devient-elle si on ajoute \(5\) à chaque résultat ?

Solution détaillée :  Il y a \(7\) notes. La moyenne est

\(\bar{x}=\dfrac{3+6+2+5+10+9+7}{7}=\dfrac{42}{7}=6.\)

Sa note moyenne est de \(6\) sur \(20\).

Si on multiplie tous les résultats par deux, les \(7\) notes deviennent \(6,\, 12,\, 4,\, 10,\, 20,\, 18,\, 14\)  et la moyenne est

\(\bar{x}=\dfrac{6+12+4+10+20+18+14}{7}=\dfrac{84}{7}=12.\)

Sa note moyenne est de \(12\) sur \(20\). On peut remarquer que la moyenne a été multipliée par deux si toutes les notes sont multipliée par deux.

Si on ajoute \(5\) à chaque résultat, les \(7\) notes deviennent \(8,\, 11,\, 7,\, 10,\, 15,\, 14,\, 12\) et la moyenne est

\(\bar{x}=\dfrac{8+11+7+10+15+14+12}{7}=\dfrac{77}{7}=11.\)

Sa note moyenne est de \(11\) sur \(20\). On peut remarquer que la moyenne augmente de \(5\) si toutes les notes sont augmentées de \(5\).

Preuves