Théorie du module : Fonctions

Définitions

Les fonctions sont les objets de base traités en calcul différentiel et intégral. Ce chapitre est une introduction à cette matière en ce qu'il examine les premiers éléments qui regardent les fonctions, leur représentation graphique, des façons de les transformer et de les composer.

Il y a fonction dès qu'une quantité dépend d'une autre.

Voici quatre situations.

1. L'aire \(A\) d'un cercle dépend du rayon \(r\) de ce cercle.  C'est l'équation \(A=\pi r^2\) qui exprime la règle qui lie \(r\) et \(A\). A chaque valeur positive de \(r\) est associée une valeur de \(A\), on dit que \(A\) est une fonction de \(r\).


2. La population mondiale \(P\) dépend du temps \(t\).  La table ci-contre donne une estimation de cette population mondiale \(P(t)\) au temps \(t\), pour quelques années. Par exemple, \(P(1950)\approx 2\,520\,000\,000.\) 

\(\begin{array} {|c|c|} \hline \mbox{Année}&\mbox{Population} \\ &\mbox{(en millions)}\\ \hline 1900&1650\\ 1910&1750\\ 1920&1860\\ 1930&2070\\ 1940&2300\\ 1950&2520\\ 1960&3020\\ 1970&3700\\ 1980&4450\\ 1990&5300\\ 1996&5770\\ \hline \end{array}\)

Mais à chaque valeur de la variable t correspond une valeur de P et on dit que P est une fonction de t.

3. Le coût \(C\) d'affranchissement d'une lettre dépend de son poids \(p \). Bien qu'il n'existe pas de formule simple qui lie \(C\) et \(p \), le bureau postal dispose d'un tarif qui lui permet de déterminer \(C\) dès que \(p \) est connu.
4. L'accélération verticale \(a\) du sol telle qu'elle est mesurée par un séismographe durant un tremblement de terre est une fonction du temps. On peut y lire la valeur de \(a\) correspondant à un certain moment \(t\) choisi.

Chacun de ces exemples décrit une règle selon laquelle, à un nombre (\(r\), \(t\), \(p \) ou \(t\)), est associé un autre nombre (\(A\), \(P\), \(C\) ou \(a\)). Dans chaque cas, on dit que le deuxième nombre est une fonction du premier.

Les ensembles \(A\) et \(B\) envisagés pour des fonctions sont habituellement des ensembles de nombres. L'ensemble \(A\) est appelé le domaine de définition de la fonction. Le nombre \(f(x)\) est la valeur de \(f\) en \(x\) et se lit "\(f\) de \(x\)". L'ensemble de toutes les valeurs \(f(x)\) possibles lorsque \(x\) parcourt tout le domaine de définition s'appelle l'ensemble image. On appelle variable indépendante un symbole qui peut prendre une valeur quelconque du domaine de définition de la fonction \(f\). On appelle variable dépendante un symbole qui prend une valeur de l'ensemble image de \(f\).

Reprenons les 4 situations précédentes.

1. Le rayon \(r\) est la variable indépendante et l'aire du disque de rayon \(r\), \(A(r)\), est la variable dépendante.
2. Le temps \(t\) est la variable indépendante et la population mondiale \(P(t)\) est la variable dépendante.
3. Le poids \(p \) est la variable indépendante et le coût \(C(p)\) est la variable dépendante.
4. Le temps \(t\) est la variable indépendante et l'accélération \(a(t)\) est la variable dépendante.

On écrira aussi bien \(f(x)=x^2\) ou \(f(t)=t^2\) ou \(f(r)=r^2\) pour exprimer la fonction qui consiste à élever un nombre réel au carré. 

Il est instructif de comparer une fonction à une espèce de machine. Lorsque \(x\) est une valeur du domaine de définition de la fonction \(f\), alors la machine l'accepte comme entrée et produit à la sortie \(f(x)\), selon la règle qui définit la fonction. Dès lors, le domaine de définition peut être vu comme l'ensemble de toutes les entrées possibles de la machine et l'ensemble image, comme l'ensemble des sorties possibles.

Les fonctions préprogrammées des calculatrices illustrent fort bien la notion de fonction regardée comme une machine. Prenons l'exemple de la fonction activée par la touche \(\sqrt x\) de votre calculatrice. D'abord, vous entrez \(x\). Ensuite, vous pressez la touche \(\sqrt x\). Si \(x<0\), il n'appartient pas au domaine de définition de la fonction et, de ce fait, ne sera pas accepté par la calculatrice, qui du reste vous enverra un message d'erreur. Par contre, si \(x\ge 0\), la calculatrice affichera une valeur approximative de \(\sqrt x\). La touche \(\sqrt x\) de votre calculatrice n'est donc pas tout à fait la même chose que la fonction mathématique définie par \(f(x)=\sqrt x\).