Théorie du module : Repères et vecteurs

Vecteurs et points particuliers

(a) Vecteur normé

Etant donné un vecteur \(\vec{v}\), on est parfois amené à considérer un vecteur de longueur un, dans la même direction et dans le même sens que \(\vec{v}\). Notons \(\vec{1}_{v}\) ce vecteur. Pour l'obtenir, il suffit de diviser le vecteur \(\vec{v}\) par sa longueur. On dit d'un vecteur dont la norme est égale à un qu'il est normé.

Le vecteur normé correspondant à \(\vec{v}\) est \(\vec{1}_{v}=\displaystyle\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.\)

 

Par exemple, le vecteur normé de même direction et de même sens que le vecteur \(\vec{v}=(-5,6,-2)\) est le vecteur

\(\vec{1}_{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{(-5,6,-2)}{\sqrt{65}}= \left(-\frac{5}{\sqrt{65}},\frac{6}{\sqrt{65}}, -\frac{2}{\sqrt{65}}\right).\)

On a bien

\(\|\vec{1}_{v}\|=\left\|\left(-\frac{5}{\sqrt{65}},\frac{6}{\sqrt{65}}, -\frac{2}{\sqrt{65}}\right)\right\|=\sqrt{\frac{25}{65}+\frac{36}{65}+\frac{4}{65}}=1.\)

(b) Vecteurs colinéaires et orthogonaux

Rappelons que deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'ils ont même direction, et donc s'il existe \(\alpha\in \mathbb{R}\) tel que \(\vec{u}=\alpha\vec{v}\).

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires \(\Leftrightarrow \vec{u}\parallel\vec{v}\Leftrightarrow\exists\, \alpha\in \mathbb{R}\, :\, \vec{u}=\alpha\vec{v}\)

 

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux s'ils forment un angle droit et donc si \(\vec{u}\odot\vec{v}=0\).

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux \(\Leftrightarrow \vec{u}\perp\vec{v}\Leftrightarrow \vec{u}\odot\vec{v}=0\)

(c) Milieu d'un vecteur

Pour trouver le milieu d'un vecteur, on additionne les composantes de son origine et de son extrémité et on les divise par deux.

Définition - Dans le plan, si \(P = (x_p,y_p)\) et \(Q = (x_q,y_q)\) alors les coordonnées du point \(M\), milieu du vecteur \(\overrightarrow{PQ}\) sont données par

\((x_m,y_m) = \left(\frac{1}{2} (x_p + x_q),\frac{1}{2} (y_p+ y_q)\right).\)

Dans l'espace, si \(P = (x_p,y_p,z_p)\) et \(Q = (x_q,y_q,z_q)\) alors les coordonnées du point \(M\), milieu du vecteur \(\overrightarrow{PQ}\) sont données par

\((x_m,y_m,z_m) =\left(\frac{1}{2} (x_p + x_q),\frac{1}{2} (y_p+ y_q),\frac{1}{2} (z_p+ z_q)\right).\)

(d) Vecteurs de base

Dans le cas du plan, les vecteurs \((1,0)\) et \((0,1)\) jouent un rôle particulier. Il s'agit des vecteurs unitaires parallèles aux axes. On peut exprimer tout vecteur \(\vec{v}\) de composantes \((v_x,v_y)\) comme combinaison linaire de ces deux vecteurs avec les composantes \((v_x,v_y)\) comme coefficients de la combinaison linéaire : \(\vec{v}=(v_x,v_y)=v_x(1,0)+v_y(0,1)\).

Définitions - Le repère \([(0,0);(1,0),(0,1)]\) est appelé repère canonique de \(\mathbb{R}^2\). Si \(\vec{v}=(v_x,v_y)\) alors

\(\vec{v}=(v_x,v_y)=v_x(1,0)+v_y(0,1).\)

Les vecteurs \((1,0)\) et \((0,1)\) sont appelés vecteurs de base. Le nombre \(v_x\) est appelé composante horizontale de \(\vec{v}\) et \(v_y\) est appelé composante verticale de \(\vec{v}\).

Il en est de même des vecteurs \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) et \((0,0,1)\) dans l'espace \(\mathbb{R}^3\).

Le repère \([(0,0,0);(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]\) est appelé repère canonique de \(\mathbb{R}^3\). Si \(\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)\) alors

\(\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)=v_x(1,0,0)+v_y(0,1,0)+v_z(0,0,1).\)

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