Théorie du module : Repères et vecteurs
Table des matières
- Le plan \(\mathbb{R}^2\)
- L'espace \(\mathbb{R}^3\)
- La notion de vecteur
- Opérations sur les vecteurs
- Vecteurs et points particuliers
- Exemples détaillés
Vecteurs et points particuliers
(a) Vecteur normé
Etant donné un vecteur \(\vec{v}\), on est parfois amené à considérer un vecteur de longueur un, dans la même direction et dans le même sens que \(\vec{v}\). Notons \(\vec{1}_{v}\) ce vecteur. Pour l'obtenir, il suffit de diviser le vecteur \(\vec{v}\) par sa longueur. On dit d'un vecteur dont la norme est égale à un qu'il est normé.
Par exemple, le vecteur normé de même direction et de même sens que le vecteur \(\vec{v}=(-5,6,-2)\) est le vecteur
\(\vec{1}_{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{(-5,6,-2)}{\sqrt{65}}= \left(-\frac{5}{\sqrt{65}},\frac{6}{\sqrt{65}}, -\frac{2}{\sqrt{65}}\right).\)
On a bien
\(\|\vec{1}_{v}\|=\left\|\left(-\frac{5}{\sqrt{65}},\frac{6}{\sqrt{65}}, -\frac{2}{\sqrt{65}}\right)\right\|=\sqrt{\frac{25}{65}+\frac{36}{65}+\frac{4}{65}}=1.\)
(b) Vecteurs colinéaires et orthogonaux
Rappelons que deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'ils ont même direction, et donc s'il existe \(\alpha\in \mathbb{R}\) tel que \(\vec{u}=\alpha\vec{v}\).
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux s'ils forment un angle droit et donc si \(\vec{u}\odot\vec{v}=0\).
(c) Milieu d'un vecteur
Pour trouver le milieu d'un vecteur, on additionne les composantes de son origine et de son extrémité et on les divise par deux.
\((x_m,y_m) = \left(\frac{1}{2} (x_p + x_q),\frac{1}{2} (y_p+ y_q)\right).\)
Dans l'espace, si \(P = (x_p,y_p,z_p)\) et \(Q = (x_q,y_q,z_q)\) alors les coordonnées du point \(M\), milieu du vecteur \(\overrightarrow{PQ}\) sont données par\((x_m,y_m,z_m) =\left(\frac{1}{2} (x_p + x_q),\frac{1}{2} (y_p+ y_q),\frac{1}{2} (z_p+ z_q)\right).\)
(d) Vecteurs de base
Dans le cas du plan, les vecteurs \((1,0)\) et \((0,1)\) jouent un rôle particulier. Il s'agit des vecteurs unitaires parallèles aux axes. On peut exprimer tout vecteur \(\vec{v}\) de composantes \((v_x,v_y)\) comme combinaison linaire de ces deux vecteurs avec les composantes \((v_x,v_y)\) comme coefficients de la combinaison linéaire : \(\vec{v}=(v_x,v_y)=v_x(1,0)+v_y(0,1)\).
\(\vec{v}=(v_x,v_y)=v_x(1,0)+v_y(0,1).\)
Les vecteurs \((1,0)\) et \((0,1)\) sont appelés vecteurs de base. Le nombre \(v_x\) est appelé composante horizontale de \(\vec{v}\) et \(v_y\) est appelé composante verticale de \(\vec{v}\).Il en est de même des vecteurs \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) et \((0,0,1)\) dans l'espace \(\mathbb{R}^3\).
\(\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)=v_x(1,0,0)+v_y(0,1,0)+v_z(0,0,1).\)