Théorie du module : Calcul algébrique

Moyennes

(a) Moyenne arithmétique

Définition - Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels. La moyenne arithmétique des nombres \(a\) et \(b\) est le nombre réel

\(\bar{x}=\dfrac{a+b}{2}.\)

Plus généralement, si \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots, x_n\) sont \(n\) nombres réels alors la moyenne arithmétique de ces \(n\) nombres est le nombre réel

\(\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots x_n}{n}.\)

Par exemple, lors de ses interrogations, un élève a obtenu les résultats sur \(20\) suivants : \(13,\, 6,\, 12, \, 12,\, 15,\, 9,\, 17\). Calculer sa moyenne. Il y a \(7\) notes. La moyenne est

\(\bar{x}=\dfrac{13+6+12+12+15+9+17}{7}=\dfrac{84}{7}=12.\)

Sa note moyenne est de \(12\) sur \(20\).

Remarque : Si on augmente toutes les valeurs \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots, x_n\) du même nombre \(k\) alors la moyenne augmente aussi de \(k\).  Si on multiplie toutes les valeurs \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots, x_n\) par le même nombre \(k\) alors la moyenne est aussi multipliée par \(k\).

(b) Moyenne géométrique

Définition - Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs. La moyenne géométrique des nombres \(a\) et \(b\) est le nombre réel

\(\sqrt{a\cdot b}.\)

Plus généralement, si \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots, x_n\) sont \(n\) nombres réels positifs alors la moyenne géométrique de ces \(n\) nombres est le nombre réel

\(\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \cdots \cdot x_n}.\)

Si on place la somme de \(1000\) euros pendant \(10\) ans, à un taux de \(6\%\) par an les quatre premières années, \(7\%\) par an les trois suivantes et \(8\%\) par an les trois dernières, calculer le taux d'intérêt moyen durant ces \(10\) ans. Après \(10\) ans, le capital augmenté des intérêts est

\(X_{10}=1000\cdot (1,06)^4\cdot (1,07)^3\cdot (1,08)^3.\)

Le taux d'intérêt moyen \(T\) est le taux qui aurait produit le même intérêt au bout de \(10\) ans :

\(X_{10}=1000\cdot (1+T)^{10}.\)

Il faut donc trouver \(T\) tel que

\((1+T)^{10}=(1,06)^4\cdot (1,07)^3\cdot (1,08)^3.\)

On calcule

\(1+T=\sqrt[10]{(1,06)^4\cdot (1,07)^3\cdot (1,08)^3}\)

et donc

\(T=\sqrt[10]{(1,06)^4\cdot (1,07)^3\cdot (1,08)^3}-1=0,06896\ldots.\)

Le taux moyen est de \(6,89\%\). Il est obtenu en calculant la moyenne géométrique des différents taux d'intérêt.

Théorie