Théorie du module : Calcul algébrique

Racine n-ième

(a) Définition

Définitions - Soit \(a \in {\mathbb{R}_0}\), \(n \in {\mathbb{N}_0}\). La racine \(n\)-ième de \(a\) est le nombre réel \(b\) tel que \(b^n = a\). On la note \(b =\sqrt[n]{a}= a^{1/n}\). Le naturel \(n\) est l'indice de la racine et le réel \(a\) est le radicand.

Par exemple, \( 2^3 = 8\Rightarrow 2 = \root 3 \of 8 = 8^{1/3}\).

Remarque :

  • Si \(n\) est pair alors \(a\) doit être positif (ceci est la condition d'existence de la racine \(n\)-ième).
  • Si \(n\) est impair et \(a < 0 \), on pose\(\sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{-a}\).

 

Par exemple, \(\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2 \).

De manière plus générale, on peut définir les puissances rationnelles de \(a\) :

\(\begin {array}{l} a^{m/n} =\sqrt[n]{a^m},\\[2mm] a^{-m/n} =\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}},\mbox{ où } a \neq 0. \end{array}\)

 

Par exemple, \(2^{3/4} = \sqrt[4]{2^3}\), \(3^{-2/3} =\dfrac{1}{\sqrt[3]{3^2}}\).

(b) Propriétés

Les puissances rationnelles d'un nombre positif vérifient les propriétés suivantes : si \( a , b \in {\mathbb{R}^+}\), \(m , n \in\mathbb{N}_0\), on a

 

\(\begin {array}{l} \sqrt[n]{a^n} =(\sqrt[n]{a})^n=a,\\[2mm] \sqrt[n]{ab} =\sqrt[n]{a} \cdot\sqrt[n]{b},\\[2mm] \displaystyle \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\, \, \mbox{où }b\neq 0\\[3mm] \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m ,\\[2mm] \displaystyle\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} =\sqrt[n\cdot m]{a}. \end{array}\)

 

Par exemple, \(\sqrt[3]{14}=\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{2}\), \(\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\), \(\sqrt[3]{49}=(\sqrt[3]{7})^2\), \(\sqrt[3]{\sqrt{3}}=\sqrt[6]{3}\).

Remarque :

  • \(0^{-n} \ (n\in\mathbb{N})\) n'est pas défini dans \(\mathbb{R}\).
  • \(\forall a , b \in {\mathbb{R}_0^+} , n \in \mathbb{N} : \root n \of {a + b} \neq \root n \of a + \root n \of b \).

Par exemple, \(\sqrt {13} \neq \sqrt 4 + \sqrt 9\).

  • \(\sqrt{(-2)(-8)} \neq \sqrt{(-2)} \sqrt{(-8})\)
  • \(\sqrt{(-5)^2} \neq (-5)^{2/2}\)
  • \(\root 3 \of 2 = \root 6 \of {2^2}\,\) mais \(\,\root 3 \of {-8} \neq \root 6 \of {(-8)^2}\)

(c) Calcul avec des racines

On ne peut aditionner ou soustraire que des racines semblables, c'est-à-dire de même indice et même radicand.

Remarque : Attention : \(\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\neq\sqrt[n]{a+b}\).

Par exemple, \(\sqrt[4]{a}+3\sqrt[4]{a}-2\sqrt[4]{a}=2\sqrt[4]{a}\) et
\(\root 3 \of {24} + 5 \root 3 \of 3 - \root 3 \of {81} = 2 \root 3\of 3 + 5 \root 3 \of 3 - 3 \root 3 \of 3 = 4 \root 3 \of 3\).

Pour multiplier et diviser des racines, on les réduit au même indice et on applique les propriétés.
Afin de simplifier les calculs de sommes et produits de radicaux d'indices différents, on est amené à calculer le plus petit commun multiple des indices.

Par exemple, \(\root 6 \of a \cdot \root 4 \of a = \root {12} \of {a^2} \cdot \root{12} \of {a^3} = \root {12} \of {a^2 \cdot a^3} = \root {12} \of {a^5} \ \ \ (a \in {\mathbb{R}^+})\).
\(\displaystyle \root 3 \of {256} = \root 3 \of {2^8} = \root 3 \of {2^3\cdot 2^3\cdot 2^2} = 2\cdot 2\cdot \root 3 \of {2^2} =4\root 3 \of 4\).

Il est bien souvent utile de pouvoir rendre rationnel le dénominateur d'une fraction. Pour cela, on se rappelle que

\(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\)

et

\((\sqrt a + \sqrt b) (\sqrt a - \sqrt b)= a - b.\)

Par conséquent,

  • si le dénominateur est de la forme \(a\sqrt b\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt b\).

Par exemple, \({1 + \sqrt 8 \over 3\sqrt2 } = {(1 + \sqrt 8)\sqrt2 \over 3\sqrt2 \sqrt2} = {\sqrt2 + \sqrt8\cdot \sqrt2 \over 6} = {\sqrt2 + 4 \over 6}\).

  • si le dénominateur est de la forme \(\displaystyle{(\sqrt a + \sqrt b)}\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\displaystyle{(\sqrt a - \sqrt b)}\) qu'on appelle binôme conjugué.

Par exemple, \({1 \over \sqrt5 + \sqrt2} = {\sqrt5 - \sqrt2 \over (\sqrt5 + \sqrt2)(\sqrt5 - \sqrt2)} = {\sqrt5 - \sqrt 2 \over 5 - 2} = {\sqrt5 - \sqrt2 \over 3}\).

(d) Remarque importante sur la racine carrée

La racine carrée est définie pour les nombres réels positifs. Son résultat est un nombre réel positif.
Pour plus de détails concernant la fonction "racine carrée", cliquez ici.
Par conséquent, on a

\(\sqrt{9}=3\hspace{5mm}\mbox{(et pas }\sqrt{9}=-3 !)\)

Par contre, il existe deux nombres réels dont le carré est égal à un nombre donné.
On a donc \(x^2=9\) si et seulement si \(x=3\) ou \(x=-3\). Cela est dû au fait que \(\sqrt{x^2}=\vert x\vert=\pm x\) et donc

\(x^2=9\Leftrightarrow\sqrt{x^2}=\sqrt{9}\Leftrightarrow\pm x=3\Leftrightarrow x=\pm 3.\)

Pour plus de détails concernant la valeur absolue, cliquez ici.

Voici où peut mener une mauvaise utilisation des racines :

\(4-10=9-15\)

donc

\(2^2-2.2.\frac{5}{2}=3^2-2.3.\frac{5}{2}\)

donc

\(2^2-2.2.\frac{5}{2}+(\frac{5}{2})^2=3^2-2.3.\frac{5}{2}+(\frac{5}{2})^2\)

donc

\((2-\frac{5}{2})^2=(3-\frac{5}{2})^2\)

donc (!!!!)

\(2-\frac{5}{2}=3-\frac{5}{2}\)

donc

\(2=3\)

Théorie