Théorie du module : Calcul algébrique

Fractions

Définitions - Une fraction \(\frac{a}{b}\) est le quotient de deux nombres entiers \(a\) et \(b\). Le nombre \(a\) est appelé le numérateur et le nombre \(b\) est le dénominateur \((b\neq 0)\).

(a) Propriété fondamentale des fractions

Proposition - Le quotient de deux nombres entiers ne change pas si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre entier non nul.

Si \(a\)\(b\) et \(k\) sont des nombres entiers tels que \(b\neq 0\) et \(k\neq 0\), on a toujours

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}.\)

On dira que les fractions \(\dfrac{a}{b}\) et \(\dfrac{ak}{bk}\) sont équivalentes.

Simplifier une fraction consiste à diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre entier \(k\neq 0\). Si on simplifie une fraction, la nouvelle fraction sera équivalente à la fraction de départ. Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, et donc la fraction ne peut plus être simplifiée.

Par exemple, les fractions \(\frac{24}{36}\) et \(\frac{4}{6}\) sont équivalentes car on a \(\frac{24}{36}=\frac{4\cdot 6}{6\cdot 6}=\frac{4}{6}\).

La fraction \(\frac{4}{6}\) n'est pas irréductible car on peut encore la simplifier \(\frac{4}{6}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}\) mais la fraction \(\frac{2}{3}\) est irréductible.

(b) Opérations sur les fractions

Simplification de fractions

On peut toujours écrire

\(\dfrac{a}{a}=1,\hspace{5mm}\dfrac{a}{1}=a,\hspace{5mm}\dfrac{a}{-1}=-a,\hspace{5mm}\dfrac{0}{a}=0. \)

Pour simplifier une fraction, on factorise le numérateur et le dénominateur. On simplifie alors les termes communs aux numérateur et dénominateur.

\(\dfrac{a\cdot d}{b\cdot d}=\dfrac{a}{b},\,\, \mbox{où }b, d\neq 0.\)

Par exemple, \(\dfrac{25}{35}=\dfrac{5\cdot 5}{7\cdot 5}=\dfrac{5}{7}\) et \(\dfrac{8a^3b^5c^2}{12a^2b^7c}=\dfrac{4a^2b^5c(2ac)}{4a^2b^5c(3b^2)}=\dfrac{2ac}{3b^2}\).

Pour revoir la factorisation, cliquez ici.

Afin de simplifier une fraction, il est souvent utile de pouvoir calculer le plus grand commun diviseur des numérateur et dénominateur.

Par exemple, \(\dfrac{24}{160}=\dfrac{2^3\cdot 3}{2^5\cdot 5}=\dfrac{2^3\cdot 3}{2^3\cdot 2^2\cdot 5}=\dfrac{3}{20}\). En effet, le P.G.C.D. des nombres \(24\) et \(160\) est \(2^3=8\).

Pour revoir le calcul du P.G.C.D., cliquez ici.

 

Somme et différence de deux fractions

Pour additionner deux fractions, on les réduit au même dénominateur et on additionne les numérateurs entre eux. Pour soustraire deux fractions, on les réduit au même dénominateur et on soustrait les numérateurs.

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot d}+\dfrac{b\cdot c}{b\cdot d}=\dfrac{ad + bc}{bd},\, \, \mbox{où }b, d \neq 0\)

et

\(\dfrac{a}{b}+c=\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{1}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b\cdot c}{b}=\dfrac{a+ bc}{b},\, \, \mbox{où }b\neq 0.\)

 

Par exemple, \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{1\cdot 5+2\cdot 2}{2\cdot 5}=\dfrac{9}{10}\) et \(\dfrac{11}{12}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{11-2\cdot 2}{2\cdot 6}=\dfrac{7}{12}\).

Afin de simplifier les calculs de somme et différence de fractions, il est souvent utile de pouvoir calculer leur plus petit commun multiple.

Pour revoir le calcul du P.P.C.M., cliquez ici.

 

Multiplication de deux fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\(\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd},\, \, \mbox{où }b, d \neq 0 .\)

Par exemple, \(\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5}{7}=\dfrac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\dfrac{10}{21}\).

 

Division de deux fractions

Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l'inverse de la seconde.

\(\begin{array}{l} \dfrac{a}{b}/\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc},\, \, \mbox{où }b, c, d\neq 0, \\ \\ \dfrac{a}{b}/c=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{1}{c}=\dfrac{a}{bc},\, \, \mbox{où }b, c, d\neq 0, \\ \\ a/\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{1}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{c},\, \, \mbox{où }b, c, d\neq 0. \end{array} \)

 

Par exemple, \(\dfrac{25}{32}/\dfrac{35}{64}=\dfrac{25}{32}\cdot\dfrac{64}{35}=\dfrac{5\cdot 5\cdot 32\cdot 2}{32\cdot 7 \cdot 5}=\dfrac{5\cdot 2}{7}=\dfrac{10}{7}\).

(c) Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple

Afin de simplifier une fraction, il est souvent utile de pouvoir calculer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) des numérateur et dénominateur.

Afin de simplifier les calculs de somme et différence de fractions, il est souvent utile de pouvoir calculer leur plus petit commun multiple (P.P.C.M.).

Recherche du P.P.C.M. et P.G.C.D. de deux ou plusieurs nombres entiers

  1. Décomposer chaque nombre en facteurs premiers, c.à.d. en un produit de nombres premiers.
  2. - Le P.P.C.M. (plus petit commun multiple) est le produit de tous les facteurs premiers, chacun étant pris avec son plus grand exposant.
    - Le P.G.C.D. (plus grand commun diviseur) est le produit des facteurs premiers communs, chacun étant pris avec son plus petit exposant.

Par exemple, calculons le P.P.C.M. et le P.G.C.D. des nombres 360 , 500 , 300 . On a

\(\begin{array}{l|l l|l l|l} 360 &\,\, 2 \qquad & 500 &\,\, 2 \qquad &300 &\,\, 2 \\ 180 &\,\, 2 \qquad & 250 &\,\, 2 \qquad & 150 &\,\, 2 \\ 90 &\,\, 2 \qquad & 125 &\,\, 5\qquad &75 &\,\, 3 \\ 45 &\,\, 3\qquad & 25 &\,\, 5 \qquad &25 &\,\, 5 \\ 15 &\,\, 3 \qquad & 5 &\,\, 5\qquad &5 &\,\, 5 \\ 5 &\,\, 5 \qquad& 1 &\qquad &1 & \\ 1 &\,\, \qquad& & \qquad& & \\ \end{array}\)

et donc \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\), \(500 = 2^2 \cdot 5^3\) et\(300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2\).
Le P.P.C.M. de ces 3 nombres est \(\displaystyle 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 9000\)
Le P.G.C.D. de ces 3 nombres est \(\displaystyle 2^2 \cdot 5 = 20\).

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