Théorie du module : Statistiques descriptives
Table des matières
- Définitions et exemples
- Préparation des données -- observations et modalités
- Distribution des données -- fréquences et effectifs
- Représentations graphiques
- Indicateurs numériques
- Exemples détaillés
Preuves
La variance peut être calculée au moyen de la formule
\(s^2 = \left( \dfrac{1}{n} \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2 \right)- (\bar{x})^2.\)
On calcule, en développant le carré dans la somme,
\(\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{n} \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right)^2 & =& \dfrac{1}{n} \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n\left( x_i^2-2 x_i\bar{x} + \bar{x}^2 \right) \\ & = &\dfrac{1}{n} \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2 - \dfrac{1}{n} \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n 2x_i\bar{x} + \dfrac{1}{n} \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n \bar{x}^2. \end{array} \)
En remarquant que
\(\dfrac{1}{n} \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n \bar{x}^2 = \dfrac{1}{n} ( n \bar{x}^2) = \bar{x}^2\)
et
\(\dfrac{1}{n} \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n 2 x_i\bar{x} = 2 \bar{x} \dfrac{1}{n} \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i = 2 \bar{x}^2\)
on déduit
\(\dfrac{1}{n} \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right)^2 = \dfrac{1}{n} \displaystyle \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2 - 2 \bar{x}^2+\bar{x}^2.\)