Théorie du module : Égalités

Equations

Par exemple, \(2x-10=-3x\) est une équation où \(x\) est l'inconnue. Le nombre \(x=2\) est solution de l'équation car si on remplace \(x\) par \(2\) on obtient l'égalité \(-6=-6\).

On déduit des propriétés des égalités les propriétés suivantes qui vont nous permettre de résoudre des équations, c'est-à-dire en trouver les solutions.
Si \(A\), \(B\), \(C\) sont des expressions contenant ou non des inconnues et \(m\) est un nombre réel, alors

1. Lorsqu'on rajoute ou retranche une même quantité aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente à la première :
   1. les équations \(A=B\) et \(A+C=B+C\) sont équivalentes;
   2. les équations \(A=B\) et \(A-C=B-C\) sont équivalentes.
   Ceci revient à déplacer une quantité dans l'autre membre en changeant son signe.

   Par exemple, les équations \(2x-7=3\) et \(2x=10\) sont équivalentes et les équations \(3x+6=10\)et \(3x=4\) sont équivalentes.

2. Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une équation par une même quantité différente de \(0\), on obtient une équation équivalente à la première :
   1. les équations \(A=B\) et \(A\cdot m=B\cdot m\) avec \(m \neq 0\) sont équivalentes;
   2. les équations \(A=B\) et \(\frac{A}{m}=\frac{B}{m}\) avec \(m \neq 0\) sont équivalentes.

   Par exemple, les équations \(\frac{1}{2}x+6=\frac{3}{2} +2x\) et \(x+12=3+4x\) sont équivalentes et les équations \(2x=10\) et \(x=5\) sont équivalentes.

3. Les solutions de l'équation \(A\cdot B =0\) sont les solutions de l'équation \(A=0\) ainsi que de celles de l'équation \(B=0\) : l'équation \(A\cdot B=0\) se dissocie donc en \((A=0\) ou \(B=0)\).

   Par exemple, pour que \((x-3)(x+2)=0\), il suffit que \(x-3=0\) ou que \(x+2=0\).

4. Les solutions de l'équation \(\displaystyle \frac{A}{B} =0\) sont les solutions de l'équation \(A=0\) et qui ne sont pas solution de l'équation \(B=0\) : l'équation \(\displaystyle \frac{A}{B} =0\) se dissocie donc en \((A=0\) et \(B\neq 0)\).

   Par exemple, pour que \(\frac{(x-4)(x^2-1)}{x-1}=0\) il suffit que \((x-4)(x^2-1)=0\) mais avec \(x-1\neq 0\).

Remarque : Pour obtenir une expression du type \(A\cdot B=0\), il est parfois nécessaire de factoriser les expressions apparaissant dans les deux membres de l'égalité.

Méthode de résolution -- Pour résoudre une équation :

• Mettre tous les termes dans un membre et égaler le second membre à \(0\).
• Utiliser les propriétés ci-dessus pour isoler l'inconnue.

La solution est un ensemble de nombres réels. Cet ensemble peut être vide.

(a) Equation du premier degré

L'équation \(ax+b=0\) \((a\neq 0)\) est une équation du premier degré. Cette équation a une seule solution \(x=-\frac{b}{a}\). L'ensemble des solutions de cette équation sera donc noté \(S=\{-\frac{b}{a}\}\). Le nombre \(x=-\frac{b}{a}\) est aussi appelé racine de l'expression \(ax+b\).

Par exemple, l'équation \(2x-4=0\) a une seule solution \(x=2\). On notera \(S=\{2\}\).

(b) Equation du second degré

L'équation \(ax^2+bx+c=0\) \((a\neq 0)\) est une équation du second degré. Cette équation a zéro, une ou deux solutions dans \(\mathbb{R}\). Ces solutions sont données par

• \(S=\left\{\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right\}\) si \(b^2-4ac>0\)
• \(S=\left\{\dfrac{-b}{2a}\right\}\) si \(b^2-4ac=0\)
• \(S=\emptyset\) si \( b^2-4ac<0\)

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Par exemple, l'équation \(3x^2-3x-18=0\) a deux solutions \(x_1=\frac{3+\sqrt{225}}{6}=3\) et \(x_2=\frac{3-\sqrt{225}}{6}=-2\). On notera \(S=\{-2,\, 3\}\).

L'équation \(4x^2-8x+4=0\) a une solution \(x=\frac{8+\sqrt{0}}{8}=1\). On notera \(S=\{1\}\).

L'équation \(x^2-2x+6=0\) n'a pas de solution car \(b^2-4ac=-20<0\). On notera \(S=\emptyset\).

Remarque : Toute équation \(ax^2+bx+c=0\) avec \(b^2-4ac>0\) admet deux solutions distinctes \(x_1\) et \(x_2\) telles que \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) et \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\).

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Par exemple, l'équation \(2x^2+8x+6=0\) a deux solutions \(x_1=\frac{-8+\sqrt{16}}{4}=-1\) et \(x_2=\frac{-8-\sqrt{16}}{4}=-3\). Ces solutions sont telles que \(x_1+x_2=-4=-\frac{8}{2}\) et \(x_1\cdot x_2=3=\frac{6}{2}\). Pour trouver les solutions de cette équation, on aurait donc pu se poser la question suivante : trouver deux nombres dont la somme vaut \(-\frac{b}{a}=-4\) et le produit vaut \(\frac{c}{a}=3\). Ces deux nombres sont \(-1\) et \(-3\).