Théorie du module : Égalités

Exemples détaillés

  1. Résoudre l'équation \(5x-3=0\).
    Solution détaillée :

    \(5x-3+3=0+3 \)

    \(5x=3\)

    \({5x\over 5}={3\over 5}\)

    \(x={3\over 5}\)

    La solution est donc le nombre réel \(x=\frac{3}{5} \) et l'on notera \(S= \{ {3\over 5} \}\).
  2. Résoudre l'équation \(\displaystyle {{x(x-3)}\over x-2}=0\).
    Solution détaillée :

    \(\displaystyle {{x(x-3)}\over x-2}=0\)

    \(x(x-3)=0 \ \ \text{et }\ x-2\neq 0\)

    \((x=0 \ \text{ou }\ x-3=0)\ \ \text{et }\ x\neq 2\)

    \((x=0 \ \text{ou }\ x=3)\ \ \text{et }\ x\neq 2\)

    Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels \(x=0\) et \(x=3\). On notera \(\displaystyle S= \{ 0,3 \}\).
  3. Résoudre l'équation \(x(x-2)=3(x^2-4)\).
    Solution détaillée :

    \(x(x-2)=3(x^2-4)\)

    \(x(x-2)=3(x-2)(x+2)\)

    \(x(x-2)-3(x-2)(x+2)=0\)

    \((x-2)(x-3x-6)=0\)

    \((x-2)(-2x-6)=0\)

    \(x-2=0 \ \text{ou }-2x-6=0\)

    \(x=2 \ \text{ou }-2x-6+6=0+6\)

    \(x=2 \ \text{ou }-2x=6\)

    \(x=2 \ \text{ou }\frac{-2x}{-2}=\frac{6}{-2}\)

    \(x=2 \ \text{ou }x=-3\)

    Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels \(x=2\) et \(x=-3\). On notera \(\displaystyle S= \{ -3, 2 \}\).

    Remarque : Le passage de la première à la deuxième égalité s'obtient en factorisant l'expression \(x^2-4\).  Une autre manière de résoudre l'exercice consiste à distribuer à la première étape, puis résoudre l'équation du second degré obtenue.

  4. Résoudre l'équation \(x^2-5x+6=0\).
    Solution détaillée :

    \(x^2-5x+6=0\)

    \((x-2)(x-3)=0\)

    \(x-2=0 \ \text{ou }x-3=0\)

    \(x=2 \ \text{ou }x=3\)

    Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels \(x=2\) et \(x=3\). On notera \(\displaystyle S= \{ 2,3 \}\).

    Remarque : Le passage de la première à la deuxième égalité s'obtient en factorisant l'expression \(x^2-5x+6\).

  5. Résoudre l'équation \(\dfrac{x^2-4x+3}{x-1}=0\).
    Solution détaillée :

    \(x^2-4x+3=0 \ \ \text{et }\ x-1\neq 0\)

    \((x-1)(x-3)=0 \ \ \text{et }\ x\neq 1\)

    \(((x-1=0) \ \text{ou }(x-3)=0) \ \ \text{et }\ x\neq 1\)

    \((x=1 \ \text{ou }x=3) \ \ \text{et }\ x\neq 1\)

    La solution \(x=1\) est donc à rejeter. Cette équation a une seule solution, le nombre réel \(x=3\). On notera \(\displaystyle S= \{3 \}\).

    Remarque : Le passage de la première à la deuxième ligne s'obtient en factorisant l'expression \(x^2-4x+3\).

  6. Résoudre l'équation \(\displaystyle \frac{x}{x-3}=2\).
    Solution détaillée :

    \(\displaystyle \frac{x}{x-3}=2\)

    \(\displaystyle \frac{x}{x-3}-2=0\)

    \(\displaystyle \frac{x-2(x-3)}{x-3}=0\)

    \(\displaystyle \frac{-x+6}{x-3}=0\)

    \(6-x=0 \ \ \text{et }\ x-3\neq 0\)

    \(x=6\ \ \text{et }\ x\neq 3\)

    Cette équation a donc une solution, le nombre réel \(x=6\). On notera \(\displaystyle S= \{ 6 \}\).

Remarque : le passage de la deuxième à la troisième ligne s'obtient en réduisant au même dénominateur.

  1. Résoudre l'équation \(\mid 2x+3\mid=1\).
    Solution détaillée :

    \(\mid 2x+3\mid=1\)

    \(2x+3=1 \ \ \text{ou }\ 2x+3=-1\)

    \(2x+3-3=1-3 \ \ \text{ou }\ 2x+3-3=-1-3\)

    \(2x=-2 \ \ \text{ou }\ 2x=-4\)

    \(\frac{2x}{2}=\frac{-2}{2} \ \ \text{ou }\ \frac{2x}{2}=\frac{-4}{2}\)

    \(x=-1 \ \ \text{ou }\ x=-2\)

    Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels \(x=-1\) et \(x=-2\). On notera \(\displaystyle S= \{ -2,-1 \}\).

    Remarque : Le passage de la première à la deuxième ligne découle des propriétés de la valeur absolue.

  2. Le triple d'un nombre, diminué de \(4\), est égal à son double augmenté de \(7\). Quel est ce nombre ?
    Solution détaillée :
    • Choix de l'inconnue : \(x\) = le nombre cherché;
    • Mise en équation : \(3x-4=2x+7\);
    • Résolution de l'équation : \(3x-2x=7+4\) d'où \(x=11\);
    • Solution du problème : le nombre est \(11\);
    • Vérification de la solution : on a bien \(3\cdot 11-4=2\cdot 11+7\) c'est-à-dire \(29=29\).

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