Théorie du module : Égalités

Preuves

L'équation \(ax^2+bx+c=0\) a zéro, une ou deux solutions dans \(\mathbb{R}\).

Cette équation peut successivement s'écrire

\(\begin{array}{c} ax^2+bx+c=0\\[2mm] x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\\ x^2+2\, \dfrac{b}{2a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0\\ \left( x+\dfrac{b}{2a}\right) ^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \end{array} \)

1er cas : \(b^2-4ac>0\). On obtient

\(x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\)

d'où

\(x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\)

L'équation a donc deux solutions :

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\, \, \mbox{ et }\, \, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\)

On notera \(S=\left\{\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right\}\).

2ème cas : \(b^2-4ac=0\). On obtient

\(x+\frac{b}{2a}=0\)

d'où

\(x=-\frac{b}{2a}.\)

L'équation a une seule solution : \(x=-\frac{b}{2a}\). On notera \(S=\left\{\dfrac{-b}{2a}\right\}\).

3ème cas : \(b^2-4ac<0\). On obtient

\(\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2<0\)

ce qui est impossible. L'équation n'a pas de solution. On notera \(S=\emptyset\).

 

Les solutions \(x_1\) et \(x_2\) de l'équation \(ax^2+bx+c=0\) avec \(b^2-4ac>0\) sont telles que

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\mbox{ et }x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.\)

On a vu que

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\, \, \mbox{ et }\, \, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\)

On calcule alors

\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}\)

et

\(\begin{array}{rcl} x_1\cdot x_2 & = & \dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[2mm] & = &\dfrac{-(\sqrt{b^2-4ac}+b)(\sqrt{b^2-4ac}-b)}{4a^2} \\[2mm] & = &\dfrac{-(b^2-4ac-b^2)}{4a^2}=\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{c}{a}. \end{array} \)

Théorie