Module : Fonctions

Exercice

Donnez le domaine et la définition de \(f \circ g\)  et \(g \circ f\).

(a) \(\displaystyle f(x) = {1\over x}\) et \(g(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)

Réponse

\((f\circ g)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)\(\mbox{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\) et \((g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\), \(\mbox{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}_0\)

Aide

Pour trouver \(f\circ g\), on remplace \(x\) par \(g(x)\) dans la formule de \(f\).

Pour trouver \(g\circ f\), on remplace \(x\) par \(f(x)\) dans la formule de \(g\).

Solution

Le domaine de \(f\) est \(\mathbb{R}_0\) et le domaine de \(g\) est \(\mathbb{R}\).

On calcule

\((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x^2+1})=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}.\)

Le domaine de cette fonction est \(\mathbb{R}\).

On a aussi

\((g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left(\frac{1}{x}\right) =\sqrt{\left(\frac{1}{x}\right)^2+1}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}.\)

Le domaine de cette fonction est \(\mathbb{R}_0\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(b) \(f(x) = x^2 - 1\) et \(g(x) = \vert x \vert\)

Réponse

\((f\circ g)(x)=x^2-1\)\(\mbox{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\) et \((g\circ f)(x)=|x^2-1|\), \(\mbox{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\)

Aide

Pour trouver \(f\circ g\), on remplace \(x\) par \(g(x)\) dans la formule de \(f\).

Pour trouver \(g\circ f\), on remplace \(x\) par \(f(x)\) dans la formule de \(g\).

Solution

Le domaine de \(f\) est \(\mathbb{R}\) et le domaine de \(g\) est \(\mathbb{R}\).

On calcule

\((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(|x|)=|x|^2-1=x^2-1.\)

Le domaine de cette fonction est \(\mathbb{R}\).

On a aussi

\((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2-1)=|x^2-1|. \)

Le domaine de cette fonction est \(\mathbb{R}\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


(c) \(f(x) = \sqrt x\) et \(g(x) = x^3\)

Réponse

\((f\circ g)(x)=x^{3/2}\)\(\mbox{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}^+\) et \((g\circ f)(x)=x^{3/2}\), \(\mbox{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}^+\)

Aide

Pour trouver \(f\circ g\), on remplace \(x\) par \(g(x)\) dans la formule de \(f\).

Pour trouver \(g\circ f\), on remplace \(x\) par \(f(x)\) dans la formule de \(g\).

Solution

Le domaine de \(f\) est \(\mathbb{R}^+\) et le domaine de \(g\) est \(\mathbb{R}\).

On calcule

\((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^3)=\sqrt{x^3}=x^{3/2}.\)

Le domaine de cette fonction est \(\mathbb{R}^+\).

On a aussi

\((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^3=x^{3/2}.\)

Le domaine de cette fonction est \(\mathbb{R}^+\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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