Théorie du module : Logique

Réciproque et contraposée

Dans les ouvrages mathématiques, on rencontre souvent les mots "réciproque" et "contraposée", qui sont en rapport avec l'implication.

La réciproque de (\(p\Rightarrow q\)) est (\(q\Rightarrow p\)). On renverse donc le sens de l'implication pour obtenir la réciproque. Un énoncé n'est pas équivalent à sa réciproque.

Par exemple l'implication

\(x\in \mathbb{N}\Rightarrow x\in \mathbb{R}\)

est vraie, mais sa réciproque

\(x\in \mathbb{R}\Rightarrow x\in \mathbb{N}\)

est fausse.

La réciproque de \(p\Rightarrow q\) n'est pas non plus équivalente à la négation de \(p\Rightarrow q\). Il suffit de comparer les tables de vérité de \(q\Rightarrow p\) et \(\neg(p\Rightarrow q)\) pour s'en convaincre. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder les tables de vérité ici.

La contraposée de (\(p\Rightarrow q\)) est (\(\neg q\Rightarrow \neg p\)). On nie les affirmations \(p\) et \(q\) et on renverse le sens de l'implication pour obtenir la contraposée. Un énoncé est équivalent à sa contraposée.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder les tables de vérité ici.

Par exemple, l'affirmation

"S'il pleut alors je prends mon parapluie"

est équivalente à sa contraposée

"Si je ne prends pas mon parapluie, c'est qu'il ne pleut pas".

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