Théorie du module : Logique

Propositions

Définition - Une proposition est un énoncé simple susceptible d'être vrai ou faux.

Sont exclus des énoncés agrammaticaux, ainsi que les énoncés dénués de sens. Le sont également les énoncés exclamatifs comme "Ciel mon mari !", les énoncés interrogatifs comme "Quelle heure est-il ?", impératifs comme "Donne-moi la main.", de même que les énoncés auto-référentiels comme "Je mens.". Pour les premiers, la question qu'ils soient vrais ou faux n'a pas de sens, pour les derniers la question conduit à des paradoxes. C'est ainsi que "Cette phrase a cinq mots." est un énoncé vrai, mais l'énoncé contraire "Cette phrase n'a pas cinq mots." est également vrai.

Des énoncés affirmatifs comme "\(2 + 3 = 5\)", "Il pleut", "16 est le carré de 3",\(\ldots\) ont la propriété d'être soit vrais, soit faux mais jamais les deux à la fois. On les appelle des propositions. La valeur, vraie (V) ou fausse (F), d'une proposition sera appelée valeur de vérité de la proposition. On se permettra l'abus de langage de dire qu'une proposition est vraie pour "la valeur de vérité de la proposition est vraie".

Le caractère simple d'un énoncé tient à ce qu'il ne puisse pas se décomposer en plusieurs énoncés.

Par exemple la proposition "Pierre est philosophe et mathématicien" est composée des deux propositions "Pierre estphilosophe", "Pierre est mathématicien" reliées par un "et".

Définition - Une proposition composée est une proposition construite à partir de propositions simples reliées par des connecteurs logiques.

Par exemple, les propositions "Il fait beau et \(4 + 1 = 5\)", "S'il pleut alors je prendrai mon parapluie" et "Pierre est philosophe et mathématicien" sont des propositions composées.

Dans la suite on sera souvent amené a faire référence à des propositions sans les préciser. On les désignera alors par des symboles comme \(p , q , r,\ldots\)

 

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