Théorie du module : Logique
Table des matières
- Propositions
- Connecteurs logiques
- Tautologie ou loi logique
- Quantificateurs logiques
- Réciproque et contraposée
- Théorèmes et méthodes de démonstration
- Exemples détaillés
Preuves
\(\begin{array}{c} \neg(\neg p)\Leftrightarrow p\\ \neg (p\wedge\neg p) \\ (p\wedge q)\Leftrightarrow(q\wedge p) \\ (p\vee q)\Leftrightarrow(q\vee p)\end{array} \)
sont des tautologies.On remarque que la colonne correspondante dans les tables de vérité est constituée uniquement de \(V\) :
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & \neg p & \neg (\neg p)&\neg (\neg p)\Leftrightarrow p&p\wedge\neg p&\neg (p\wedge\neg p) \\ \hline V&F&V&V&F&V\\ F&V&F&V&F&V\\ \hline \end{array}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p\wedge q&q\wedge p&(p\wedge q)\Leftrightarrow(q\wedge p)\\ \hline V&V&V&V&V\\ V&F&F&F&V\\ F&V&F&F&V\\ F&F&F&F&V\\ \hline \end{array}\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p\vee q&q \vee p&(p\vee q)\Leftrightarrow(q \vee p)\\ \hline V&V&V&V&V\\ V&F&V&V&V\\ F&V&V&V&V\\ F&F&F&F&V\\ \hline \end{array}\)
On remarque que les colonnes correspondantes dans les tables de vérité n'ont pas les mêmes valeurs de vérité :
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p\Rightarrow q&q\Rightarrow p& \neg(p\Rightarrow q) \\ \hline V&V&V&V&F\\ V&F&F&V&V\\ F&V&V&F&F\\ F&F&V&V&F\\ \hline \end{array}\)
Soit \(p\Rightarrow q\) un énoncé et \(\neg q\Rightarrow\neg p\) sa contraposée. On remarque que les colonnes correspondantes dans les tables de vérité sont identiques :
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p\Rightarrow q&\neg p&\neg q&\neg q\Rightarrow \neg p \\ \hline V&V&V&F&F&V\\ V&F&F&F&V&F\\ F&V&V&V&F&V\\ F&F&V&V&V&V\\ \hline \end{array}\)