Théorie du module : Inégalités

Inéquations

Définitions - Une inéquation est une inégalité qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs données aux variables qu'elle contient. Ces variables sont les inconnues de l'inéquation et les valeurs qui vérifient l'inéquation sont appelées les solutions de l'inéquation. Deux inéquations sont équivalentes si toute solution de la première est solution de la seconde et réciproquement.

 

Par exemple, \(2x+1\geq 5\) est une inéquation où \(x\) est l'inconnue. N'importe quel nombre réel supérieur ou égal à \(2\) satisfait cette inégalité. Les solutions sont donc tous les nombres réels \(x\geq 2\).

On déduit des propriétés des inégalités les propriétés suivantes qui vont nous permettre de résoudre des inéquations, c'est-à-dire en trouver les solutions.
Si \(A\), \(B\), \(C\) sont des expressions contenant ou non des inconnues et \(m\) est un nombre réel, alors

  1. Lorsqu'on ajoute ou retranche une même quantité aux deux membres d'une inéquation, on obtient une inéquation équivalente à la première :
    1. les inéquations \(A>B\) et \(A+C>B+C\) sont équivalentes;
    2. les inéquations \(A>B\) et \(A-C>B-C\) sont équivalentes.
    Ceci revient à déplacer une quantité dans l'autre membre en changeant son signe.

    Par exemple, les inéquations \(2x-3>x-6\) et \(x-3\) sont équivalentes. Les inéquations \(2x+10>x-2\) et \(x+10>-2\) sont équivalentes.

  2. Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un même nombre positif, on obtient une inéquation de même sens équivalente à la première :
    1. les inéquations \(A>B\) et \(A\cdot m>B\cdot m\) avec \(m > 0\) sont équivalentes;
    2. les inéquations \(A>B\) et \(\frac{A}{m}>\frac{B}{m}\) avec \(m > 0\) sont équivalentes.

    Par exemple, les inéquations \(\frac{x}{3}>6\) et \(x>18\) sont équivalentes. Les inéquations \(2x<4\) et \(x<2\) sont équivalentes.

  3. Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un même nombre négatif, on obtient une inéquation de sens contraire équivalente à la première :
    1. les inéquations \(A>B\) et \(A\cdot m<B\cdot m\) avec \(m < 0 \) sont équivalentes;
    2. les inéquations \(A>B\) et \(\frac{A}{m}<\frac{B}{m}\) avec \(m < 0 \) sont équivalentes.

    Par exemple, les inéquations \(-\frac{x}{2}>4\) et \(x<-8\) sont équivalentes. Les inéquations \(-4x<12\) et \(x>-3\) sont équivalentes.

  4. Les solutions de l'inéquation \(A\cdot B >0\) (ou \(\displaystyle{A\over B} >0\)) sont les valeurs qui vérifient simultanément \(A>0\) et \(B>0\), ainsi que celles qui vérifient simultanément \(A<0\) et \(B<0\) : l'inéquation \(\displaystyle A\cdot B>0 \ \ (\text{ou }\ {A\over B}>0)\) se dissocie donc en \((A>0\) et \(B>0)\) ou \((A<0\) et \(B<0)\).

    Par exemple, l'expression

    \((x - 3)(x+2)>0 \mbox{ si } \begin{array}[t]{ccc} x-3>0 \mbox{ et } x+2>0&\mbox{ ou }&x-3<0 \mbox{ et } x+2<0 \\ x>3 \mbox{ et } x>-2&\mbox{ ou }&x<3 \mbox{ et } x<-2 \\ x>3&\mbox{ ou }&x<-2 \end{array}\)

    Remarque : Le calcul ci-dessus peut être résumé dans le tableau de signes suivant :

    \(\begin{array}{c|ccccc} &&-2&&3& \\ \hline x-3&-&-&-&0&+ \\ x-2&-&0&+&+&+ \\ \hline (x-3)(x+2)&+&0&-&0&+ \\ \end{array} \)

    La dernière ligne de ce tableau donne les signes de l'expression \((x-3)(x+2)\). Si \(x<-2\) alors l'expression est positive, si \(x=-2\) alors l'expression est nulle, si \(-2<x<3\) alors l'expression est négative et ainsi de suite.

  5. Les solutions de l'inéquation \(A\cdot B<0\) ou \((\displaystyle{A\over B}<0)\) sont les valeurs qui vérifient simultanément \(A>0\) et \(B<0\), ainsi que celles qui vérifient simultanément \(A<0\) et \(B>0\) : l'inéquation \(\displaystyle A\cdot B<0 \ \ (\text{ou } \ {A\over B}<0)\) se dissocie donc en \((A>0\) et \(B<0)\) ou \((A<0\) et \(B>0)\).

    L'expression

    \(\dfrac{x+1}{x-2}<0 \mbox{ si } \begin{array}[t]{ccc} x+1<0 \mbox{ et } x-2>0&\mbox{ ou }&x+1>0 \mbox{ et } x-2<0 \\ x<-1 \mbox{ et } x>2&\mbox{ ou }&x>-1 \mbox{ et } x<2 \\ \mbox{impossible}&\mbox{ ou }&x\in\, ]-1,2[ \end{array} \)

    Remarque : Le calcul ci-dessus peut être résumé dans le tableau de signes suivant :

    \(\begin{array}{c|ccccc} &&-1&&2& \\ \hline x+1&-&0&+&+&+ \\ x-2&-&-&-&0&+ \\ \hline \frac{x+1}{x-2}&+&0&-&|&+ \end{array}\)

    La dernière ligne de ce tableau donne les signes de l'expression \(\frac{x+1}{x-2}\). Cette expression n'est pas définie pour \(x=2\).

Remarque : Rappel sur les tableaux de signes :

L'équation \(ax+b=0\) a comme solution le nombre \(x=-\frac{b}{a}\). L'expression \(ax+b\) a le signe de \(x\) à droite de la racine et le signe contraire à gauche.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

L'équation \(ax^2+bx+c=0\) a zéro, une ou deux solutions. L'expression \(ax^2+bx+c\) a le signe de \(x^2\) partout sauf entre les racines lorsqu'il y en a deux.
Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Méthode de résolution -- Pour résoudre une inéquation :

  • Mettre tous les termes dans un membre et égaler le second membre à \(0\).
  • Ecrire le premier membre sous la forme d'une seule expression et faire le tableau de signes de cette expression.
  • En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation.

La solution est un intervalle ou l'union de plusieurs intervalles de \(\mathbb{R}\).

Remarque : Ne jamais supprimer le dénominateur dans une inéquation car celui-ci a un signe qui interviendra dans le signe de l'expression.

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