Théorie du module : Inégalités

Preuves

 

L'expression \(ax+b\) a le signe de \(x\) à droite de la racine et le signe contraire à gauche.

L'expression \(ax+b\) peut encore s'écrire \(a(x+\frac{b}{a})\).

Si \(x=-\frac{b}{a}\) alors \(ax+b=0\).

Si \(x>-\frac{b}{a}\), c'est-à-dire si \(x\) est à droite de la racine, on a \((x+\frac{b}{a})>0\) et donc l'expression a le même signe que \(a\) (et donc que \(x\)).

Si \(x<-\frac{b}{a}\), c'est-à-dire si \(x\) est à gauche de la racine, on a \((x+\frac{b}{a})<0\) et donc l'expression a le signe contraire de \(a\) (et donc de \(x\)).

 

L'expression \(f(x)=ax^2+bx+c\) a le signe de \(x^2\) partout sauf entre les racines lorsqu'il y en a deux.

1er cas : \(b^2-4ac<0\). Dans ce cas, \(f(x)\) n'a pas de racine. L'expression peut s'écrire

\(f(x)=a\left( \left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \)

\(\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2>0\) et \(b^2-4ac<0\). On en déduit que

\(\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}>0\)

et donc \(f(x)\) a le même signe que \(a\) (et donc que \(x^2\)).

2ème cas : \(b^2-4ac=0\). Dans ce cas, \(f(x)\) a une seule racine. L'expression peut s'écrire

\(f(x)=a\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2\)

\(\left( x+\frac{b}{2a}\right) ^2>0\). Donc \(f(x)\) a le même signe que \(a\) (et donc que \(x^2\)).

3ème cas : \(b^2-4ac>0\). Dans ce cas, \(f(x)\) a deux racines distinctes \(x_1\) et \(x_2\) (supposons \(x_1<x_2\)). L'expression peut s'écrire

\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)

\((x-x_1)(x-x_2)>0 \) si \(x<x_1\) ou \(x>x_2\)
     \((x-x_1)(x-x_2)<0\) si \(x_1<x<x_2\)

On en déduit que \(f(x)\) a le même signe que \(a\) partout sauf entre les deux racines \(x_1\) et \(x_2\).

 

Théorie