Théorie du module : Inégalités

Exemples détaillés

  1. Résoudre l'inéquation \(\displaystyle -2x +1<-\frac{1}{2}\).

Solution détaillée :

\(-2x<-\frac{1}{2}-1\)

\(-2x<-\frac{3}{2}\)

\(x>\left( -\frac{1}{2}\right)\cdot \left( -\frac{3}{2}\right)\)

\(x>\frac{3}{4}\)

et donc la solution est \(S=\left]\frac{3}{4};+\infty\right[\).

 

  1. Résoudre l'inéquation \(\displaystyle \frac{x}{x-3}<2\).

Solution détaillée :

\(\dfrac{x}{x-3}-2<0\)

\(\dfrac{x-2(x-3)}{x-3}<0\)

\(\dfrac{-x+6}{x-3}<0\)

On effectue un tableau de signes de l'expression :

\(\begin{array}{c|ccccc} &&2&&3& \\ \hline x-2&-&0&+&+&+ \\ x-3&-&-&-&0&+\\ \hline x^2-5x+6&+&0&-&0&+ \end{array} \)

et donc la solution est \(S=]-\infty;3[\, \cup\, ]6; +\infty[\).

Remarque : Pour un rappel concernant la construction d'un tableau de signes, cliquez ici.

 

  1. Résoudre l'inégalité \(x^2-5x+6\leq 0\).

Solution détaillée : On factorise d'abord le membre de gauche

\((x-2)(x-3)\leqslant 0.\)

On sait que l'équation correspondante \((x-2)(x-3)=0\) a comme solution \(x=2\) et \(x=3\). On effectue un tableau de signes de l'expression :

\(\begin{array}{c|ccccc} &&&2&&3&\\ \hline x-2&-&0&+&+&+ \\ x-3&-&-&-&0&+ \\ \hline x^2-5x+6&+&0&-&0&+ \end{array}\)

et donc la solution est \(S=[2,3]\).

Remarque : La première étape consiste à factoriser l'expression \(x^2-5x+6\). Il faut ensuite construire un tableau de signes en utilisant les deux racines.

 

  1. Résoudre l'inéquation \(x^3+3x^2>4x\).

Solution détaillée : On commence par mettre tous les termes non nuls d'un côté du signe d'inégalité et on factorise

\(x^3+3x^2-4x>0\quad \mbox{ ou }\quad x(x-1)(x+4)>0.\)

De la même façon qu'à l'exemple précédent, on résoud l'équation correspondante \(x(x-1)(x+4)=0\) et on se sert des solutions \(x=-4\), \(x=0\) et \(x=1\) pour construire un tableau de signes :

\(\begin{array}{c|ccccccc} &&-4&&0&&1& \\ \hline x&-&-&-&0&+&+&+ \\ x-1&-&-&-&-&-&0&+\\ x+4&-&0&+&+&+&+&+ \\ \hline x^3+3x^2-4x&-&0&+&0&-&0&+ \end{array}\)

et donc \(S=\, ]-4,0[\,\cup\,]1;+\infty[\).

Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la factorisation et les tableaux de signes.

 

  1. Déterminez le domaine de définition de la fonction \(\sqrt{\dfrac{x^2-x}{x^2-5x+6}}\).

Solution détaillée : Cette fonction existe à condition que

\(\dfrac{x^2-x}{x^2-5x+6}\geq 0 \quad \mbox{ ou }\quad \dfrac{x(x-1)}{(x-2)(x-3)}\geq 0.\)

On effectue un tableau de signes de l'expression :

\(\begin{array}{c|ccccccccc} &&0&&1&&2&&3& \\ \hline x&-&0&+&+&+&+&+&+&+ \\ x-1&-&-&-&0&+&+&+&+&+ \\ x-2&-&-&-&-&-&0&+&+&+ \\ x-3 -&-&-&-&-&-&-&-&0&+ \\ \hline \frac{x(x-1)}{(x-2)(x-3)}&+&0&-&0&+&|&-&|&+ \end{array}\)

et donc la solution est \(S=]-\infty;0]\cup [1, 2[\, \cup\, ]3; +\infty[\).

Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la racine carrée, la factorisation et les tableaux de signes.

 

  1. Résoudre l'inéquation \(\mid x-\frac{1}{2}\mid <\frac{1}{2}\).

Solution détaillée :

\(-\frac{1}{2}<x-\frac{1}{2}<\frac{1}{2}\)

\(x-\frac{1}{2}>-\frac{1}{2}\ \ \text{et }x-\frac{1}{2}<\frac{1}{2}\)

\(x>0\ \ \text{et }\ x<1\)

La solution est donc \(S= \, ]0,1[\, \).

Remarque : La première ligne s'obtient en utilisant une propriété de la valeur absolue.

 

  1. Résoudre l'inéquation \(\mid x-1\mid\leq\mid x-2\mid\).

Solution détaillée : Par définition de la valeur absolue, on a

\(\mid x-1\mid=\left\lbrace \begin{array}{rcl} x-1 &\mbox{ si }& x\geq 1 \\ 1-x &\mbox{ si }& x<1 \end{array} \right. \)

et

\(\mid x-2\mid=\left\lbrace \begin{array}{rcl} x-2 &\mbox{ si }& x\geq 2 \\ 2-x &\mbox{ si }& x<2 \end{array} \right. \)

Il y a donc trois cas possibles :

Si \(x<1\) alors l'inéquation devient

\(1-x\leq 2-x\)

\(1\leq 2\)

ce qui est vérifié pour tout \(x\in \mathbb{R}\). On a donc une première solution

\(S_1=\mathbb{R}\, \cap\, ]-\infty; 1[\, =\, ]-\infty; 1[\, .\)

Si \(1\leq x<2\) alors l'inéquation devient

\(x-1\leq 2-x\)

\(2x\leq 3\)

\(x\leq \frac{3}{2}\)

Une deuxième solution est donc

\(S_2=\, \left] -\infty; \frac{3}{2}\right] \cap [1,2[\, =\left[ 1,\frac{3}{2}\right] .\)

Si \(x\geq 2\) alors l'inéquation devient

\(x-1\leq x-2\)

\(-1\leq -2\)

ce qui est impossible. On a donc une troisième solution

\(S_3=\emptyset\cap [2;+\infty[\, =\emptyset .\)

Finalement la solution de l'inéquation est donnée par

\(S=S_1\cup S_2\cup S_3=\, \left] -\infty;\frac{3}{2}\right] .\)

Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la valeur absolue et l'union et l'intersection d'ensembles.

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