Théorie du module : Logarithmes et exponentielles

Le logarithme naturel

Les fonctions logarithmiques et exponentielles peuvent être définies de plusieurs manières. Ici, on part du logarithme naturel (également appelé logarithme népérien), que l'on définit à l'aide d'une primitive. On en déduit les propriétés de ce logarithme ainsi que les autres fonctions logarithmiques et les fonctions exponentielles.

(a) Définition

Nous cherchons une fonction \(f\) :

  • dérivable,
  • qui satisfait la condition \(f(xy)=f(x)+f(y)\).

Ces exigences imposent à la fonction que \(f(1)=0\) et qu'elle doit satisfaire à la propriété

\(f'(x)=\dfrac{c}{x},\)

pour \(x\neq 0\) et \(c=f'(1)\).  En effet,

\(f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)+f(1)=2f(1)\)

Ceci n'est possible que si \(f(1)=0\).

Nous pouvons donc conclure que \(f(x)\) sera une primitive de \(\dfrac{c}{x}\). Nous choisissons \(c=1\) et tenons compte du fait que \(f(1)=0\). Cela nous mène à la définition suivante.

Définition - La fonction logarithme naturel, notée \(\ln\) est donnée par

 

\(\ln:\mathbb{R}^+_0\to\mathbb{R}:x\mapsto\ln x=\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t}\,dt.\)

Le logarithme représente donc la surface sous la courbe de la fonction \(\dfrac{1}{t}\) de \(t=1\) à \(t=x\), comme on le voit sur la figure suivante

Figure 1 : La fonction \(\displaystyle\dfrac{1}{t}\) pour \(t>0\). La surface bleue donne la valeur de \(\ln x\).

 

Cette fonction est bien définie pour \(x>0\), car la fonction \(\displaystyle\dfrac{1}{t}\) est continue pour \(t>0\).

Le logarithme n'est par contre pas défini pour \(x<0\). En effet, l'intégrale \(\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t}\, dt\) n'est pas bien définie pour \(x<0\) car l'intervalle \([x,1]\), sur lequel on intègre contient \(0\) et la fonction \(\displaystyle\dfrac{1}{t}\) n'est pas définie en \(0\), comme on peut le voir sur la Figure 2.

        Figure 2 : La fonction \(\displaystyle\dfrac{1}{t}\). L'intervalle en rouge est l'intervalle sur lequel on devrait intégrer cette fonction pour obtenir \(\ln x\) si \(x<0\).

 

(b) Propriétés

Voici des propriétés importantes du logarithme naturel.

Propriétés :

  1. La fonction \(\ln x\) est dérivable pour tout \(x>0\) et sa dérivée est \(\dfrac{1}{x}\).
  2. La fonction \(\ln |x|\) est une primitive de \(\dfrac{1}{x}\) pour tout \(x\neq 0\) (aussi pour \(x<0\)).

Ces résultats sont une conséquence immédiate de la définition de \(\ln\)

Propriétés : Pour tout \(x,y>0\) et pour tout \(p\in\mathbb{Q}\), on a

  1. \(\ln (xy)=\ln x+\ln y\)
  2. \(\ln x^p=p\ln x\)
  3. \(\ln 1=0\)
  4. \(\displaystyle\ln \dfrac{1}{x}=-\ln x\)
  5. Si \(x>1\), alors \(\ln x>0\), si \(0<x<1\), alors \(\ln x<0\).

Les preuves de ces propriétés découlent de la définition : 

  1. On a

\(\ln (xy)=\displaystyle\int_1^{xy}\dfrac{1}{t}\, dt=\underbrace{\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t}\, dt}_{\ln x}+\displaystyle\int_x^{xy}\dfrac{1}{t}\, dt=\ln x+\displaystyle\int_x^{xy}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{t}{x}}\, dt.\)

En effectuant la substitution \(s=\dfrac{t}{x}\), nous avons \(t\in[x,xy]\) d'où \(s=\dfrac{t}{x}\in[1,y]\) et donc
\(\ln(xy)=\ln x+\displaystyle\int_1^y\dfrac{1}{s}\, ds=\ln x+\ln y.\)

 

  1. En utlisant la Propriété 3, on a pour \(p\in\mathbb{N}\) :
  • Si \(p=0\), alors \(\ln x^0=\ln 1=0=0\cdot \ln x\).
  • Si \(p\geq 1\), alors

\(\ln x^p=\ln(\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{p\text{ facteurs}})=\underbrace{\ln x+\ln x+\cdots+\ln x}_{p\text{ termes}}=p\ln x.\)

Par exemple, on a

\(\ln 6=\ln(3\cdot 2)=\ln 3+\ln 2,\)

\(\ln 8=\ln 2^3=3\ln 2\)

\(\ln \sqrt{2}=\ln 2^{1/2}=\dfrac{1}{2}\ln 2 \)

 

  1. La définition nous donne

\(\ln 1=\displaystyle\int_1^1\dfrac{1}{t}\, dt=0.\)

 

  1. Ce résultat ainsi que la Propriété 3 nous permet de conclure que

\(\ln\dfrac{1}{x}+\ln x=\ln\left(\dfrac{1}{x}\cdot x\right)=\ln 1=0.\)

Nous avons donc que \(\displaystyle\ln\dfrac{1}{x}+\ln x=0\), ce qui est équivalent à \(\displaystyle\ln\dfrac{1}{x}=-\ln x\).

 

  1. Pour \(x>1\), on a par la définition

\(\ln x=\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t}\, dt.\)

Vu que nous intégrons une fonction positive et que la borne supérieure de l'intégrale (\(x\)) est plus grande que la borne inférieure (1), l'intégrale sera donc positive.

Si \(x<1\), on a que \(\dfrac{1}{x}>1\). La Propriété 6 nous permet de conclure que

\(\ln x=-\underbrace{\ln\dfrac{1}{x}}_{>0}<0.\)

Par exemple, on a

\(\ln 2 >0,\mbox{ mais }\displaystyle\ln\dfrac{1}{2}=-\ln 2<0.\)

 

Proposition - La fonction \(\ln\, :\, \mathbb{R}^+_0\to\mathbb R\, :\, x\mapsto\ln x\) est une bijection, ce qui veut dire que pour tout

\(y\in\mathbb R\), il existe exactement un \(x\in\mathbb R^+_0\) tel que \(y=\ln x\).

Proposition - Il existe exactement un nombre, que l'on nomme \(e\), tel que \(\ln e=1\).

Ce nombre \(e\) est irrationnel et \(e=2.71828\dots\)

 

(c) Représentation graphique de ln x

Nous allons maintenant analyser le comportement de la fonction \(\ln\). Nous savons déjà plusieurs choses utiles pour cette analyse :

  • le domaine de \(\ln\) est \(\mathbb R^+_0\),
  • la dérivée: \(\displaystyle(\ln x)'=\dfrac{1}{x}\),
  • des valeurs particulières : \(\ln 1=0\) et \(\ln e=1\),
  • le signe : \(\ln x<0\) si \(0<x<1\), et \(\ln x>0\) si \(x>1\).

Voici quelques propriétés supplémentaires.

Propriétés : La fonction \(\ln{x}\) possède les propriétés suivantes :

  1. La fonction \(\ln{x}\) est strictement croissante sur tout son domaine.
  2. La fonction \(\ln{x}\) est concave sur tout son domaine.
  3. Le graphique de la fonction \(\ln{x}\) a comme asymptote verticale \(x=0\).
  4. Le graphique de la fonction \(\ln{x}\) n'a pas d'asymptote horizontale.
  5. Le graphique de \(\ln{x}\) n'a pas d'asymptote oblique.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de ces propriétés.

La fonction \(\ln{x}\) étant strictement croissante et concave sur tout son domaine, elle n'a ni extremum, ni point d'inflexion.

Résumons ce que nous savons de cette fonction dans un tableau :

 

Ceci nous permet d'obtenir le graphique suivant :

Figure 3 : Graphique de \(\ln x \).

 

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