Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) et de \(y\) cet échantillon a-t-il une moyenne arithmétique de 1 et une variance de 2 ?

\(x=0\), \(y=-1\) et \(x=-1\), \(y=0\)

Calculez d'abord la moyenne puis la variance de l'échantillon.

Par la valeur de la moyenne, on sait que

\(\dfrac{1+2+3+x+y}{5} = 1\)

et donc \(x+y = -1.\)

Par la variance, on sait que

\(\dfrac{1^2+2^2+3^2+x^2+y^2}{5}-1^2 = 2\)

et donc \(14+x^2+y^2 = 15\) ce qui revient à \(x^2 + y^2 = 1\).

On peut alors résoudre le système

\(\left\{ \begin{aligned} x+y&=-1&\text{(1)}\\ x^2 + y^2&=1&\text{(2)}\\ \end{aligned} \right.\)

De (2) on tire \(x = \pm\sqrt{1-y^2}\).

En remplaçant dans (1) on obtient

\(\begin{split} \pm\sqrt{1-y^2} + y &= -1\\ \pm\sqrt{1-y^2} &= -1-y. \nonumber \end{split}\)

Et en élevant au carré on obtient

\(\begin{split} 1-y^2 &= 1 + 2y + y^2\\ 2y^2+2y &= 0\\ 2y(y+1) &= 0. \nonumber \end{split} \)

Dès lors, \(y=0\) ou \(y=-1\) et on obtient que \(x=-1\) ou \(x=0\).

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.