Module : Statistiques descriptives

Exercice

On considère l'échantillon {-2,5,3,\(x\)}.

Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) cet échantillon a-t-il un écart-type de 2 ?

Réponse

aucune

Aide

Calculez d'abord la moyenne puis la variance de l'échantillon.

L'écart-type est la racine carrée de la variance.

Solution

La moyenne est donnée par

\(\dfrac{-2+5+3+x}{4} = \dfrac{6+x}{4}.\)

On obtient alors la variance

\(\dfrac{(-2)^2+5^2+3^2+x^2}{4} - \left(\dfrac{6+x}{4}\right)^2 = \dfrac{38+x^2}{4}-\dfrac{36+12x+x^2}{16} = \dfrac{116-12x+3x^2}{16}\)

qui, une fois mise sous racine, doit valoir \(2\). Ce qui revient donc à ce que la variance vaille \(4\) et on obtient l'équation

\(\dfrac{116-12x+3x^2}{16} = 4\)

qui est équivalente à

\(52-12x+3x^2 = 0.\)

On calcule le discriminant

\(\rho = (-12)^2 - 4\times 52\times 3 = -480\)

et donc l'équation ne possède pas de solution.

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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Théorie