Module : Statistiques descriptives
Exercice
On considère l'échantillon {-2,5,3,\(x\)}.
Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) cet échantillon a-t-il un écart-type de 2 ?
Réponse
aucune
Aide
Calculez d'abord la moyenne puis la variance de l'échantillon.
L'écart-type est la racine carrée de la variance.
Solution
La moyenne est donnée par
\(\dfrac{-2+5+3+x}{4} = \dfrac{6+x}{4}.\)
On obtient alors la variance
\(\dfrac{(-2)^2+5^2+3^2+x^2}{4} - \left(\dfrac{6+x}{4}\right)^2 = \dfrac{38+x^2}{4}-\dfrac{36+12x+x^2}{16} = \dfrac{116-12x+3x^2}{16}\)
qui, une fois mise sous racine, doit valoir \(2\). Ce qui revient donc à ce que la variance vaille \(4\) et on obtient l'équation
\(\dfrac{116-12x+3x^2}{16} = 4\)
qui est équivalente à
\(52-12x+3x^2 = 0.\)
On calcule le discriminant
\(\rho = (-12)^2 - 4\times 52\times 3 = -480\)
et donc l'équation ne possède pas de solution.
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.