Théorie du module : Calcul algébrique

Produit

Le produit de deux nombres réels de même signe est un nombre réel positif. Le produit de deux nombres réels de signes différents est un nombre réel négatif. Pour \(a, b, c\in\mathbb{R}\), on a

\( a\cdot(-b)=(-a)\cdot b=-ab\mbox{ et }(-a)\cdot (-b)=ab.\)

Dans l'ensemble des nombres réels, on peut distribuer la multiplication par rapport à l'addition. Pour \(a, b, c\in\mathbb{R}\), on a

\(a(b+c)=ab+ac\mbox{ et }(a+b)c=ac+bc.\)

 

Ces propriétés sont utilisées pour effectuer des produits particuliers. On obtient ainsi les produits remarquables suivants : pour \(a, b \in \mathbb{R}\), on a

 

\( \begin{array}{ll} \displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 & \qquad\displaystyle (a - b)(a + b)=a^2 - b^2 \\ \displaystyle (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 & \qquad\displaystyle (a - b)(a^2 + ab + b^2)=a^3 - b^3 \\ \displaystyle (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 & \qquad\displaystyle (a + b)(a^2 - ab + b^2) =a^3 + b^3 \\ \displaystyle (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 & \\ \end{array}\)

 

Par exemple,

\(\begin{array}{ll} (2x + 3)^2=4x^2 + 12x + 9& \qquad (x - 2)(x + 2)=x^2 - 4 \\ (x - 1)^2=x^2 - 2x + 1& \qquad (x - 2)(x^2 + 2x + 4) =x^3 - 8\\ (x + 2)^3=x^3 + 6x^2 + 12x + 8& \qquad (x + 3)(x^2 - 3x + 9)=x^3 + 27 \\ (x - 1)^3=x^3 - 3x^2 +3x - 1& \\ \end{array}\)

Théorie