Théorie du module : Géométrie et mesure

Théorème de Thalès et proportions

(a) Rapports et proportions

Si \(a,\, b\in\mathbb{R}\) et \(b\neq 0\) alors le nombre réel \(\frac{a}{b}\) est appelé rapport des nombres \(a\) et \(b\). Une proportion est une égalité entre deux rapports non nuls. Si \(a\), \(b\), \(c\), \(d\in\mathbb{R}_0\) alors \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) est une proportion où \(a\) et \(d\) sont les extrèmes et \(b\) et \(c\) sont les moyens. On dit que les nombres \(a\) et \(b\) sont proportionnels aux nombres \(c\) et \(d\) si \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\).

Proposition - Dans toute proportion, le produit des moyens est égal au produit des extrèmes, c'est-à-dire \(\forall a,\, b,\, c,\, d\in\mathbb{R}_0\), on a

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow ad=bc.\)

Dans une proportion on peut donc permuter les moyens et permuter les extrèmes.

(b) Théorème de Thalès

La propriété dite "petite propriété de Thalès" concerne un triangle coupé par une droite parallèle à l'un de ses côtés.

Cette propriété est généralisée avec deux triangles partageant un même sommet, ayant chacun deux côtés dans le prolongement l'un de l'autre et leur troisième côté parallèle.

Pour résumer, lorsque nous sommes dans une situation telle que nous avons

  • deux droites sécantes,
  • deux points supplémentaires sur chacune des deux droites,
  • deux droites parallèles passant par ces points,

nous pouvons appliquer le Théorème de Thalès qui énonce que le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour chacun des deux segments des 2 droites sécantes et le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour les segments qui représentent les droites parallèles sont égaux. Dans les deux cas ci-dessus, les droites DE et BC sont parallèles et nous avons les égalités

\(\dfrac{\vert AD\vert}{\vert AB\vert}=\dfrac{\vert AE\vert}{\vert AC\vert}=\dfrac{\vert DE\vert}{\vert BC\vert}.\)

 

En réalité, le Théorème de Thalès concerne une propriété plus générale.

Théorème de Thalès - Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantes des segments homologues proportionnels. Autrement dit, si trois droites parallèles rencontrent deux droites \(d\) et \(d'\), respectivement et dans cet ordre, en \(A\), \(B\), \(C\) et \(A'\), \(B'\), \(C'\), alors

\(\dfrac{\vert A'B'\vert}{\vert AB\vert}=\dfrac{\vert B'C'\vert}{\vert BC\vert}=\dfrac{\vert A'C'\vert}{\vert AC\vert}.\)

En permutant les termes moyens des fractions, on peut faire naître d'autres égalités de rapports :

\( \dfrac{\vert A'B'\vert}{\vert B'C'\vert}=\dfrac{\vert AB\vert}{\vert BC\vert},\qquad \dfrac{\vert B'C'\vert}{\vert A'C'\vert}=\dfrac{\vert BC\vert}{\vert AC\vert}, \qquad \dfrac{\vert A'B'\vert}{\vert A'C'\vert}=\dfrac{\vert AB\vert}{\vert AC\vert}.\)

Ces rapports traduisent la propriété suivante : la projection d'une droite sur une autre, suivant une direction donnée, conserve les proportions.

Cercles

Soit \(C\) un point du plan et \(r>0\). Le cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\) est l'ensemble des points du plan situés à distance \(r\) du point \(C\). On dira que des cercles sont concentriques s'ils ont le même centre. Le diamètre d'un cercle est un segment qui passe par son centre et a pour extrémités deux points du cercle.

Soit \(P\) et \(Q\) deux points d'un cercle. L'arc de cercle \(PQ\) est la partie du cercle délimitée par les points \(P\) et \(Q\). La corde \([PQ]\) est le segment joignant \(P\) à \(Q\).

Le disque de centre \(C\) et de rayon \(r\) est l'ensemble des points du plan situés à distance inférieure ou égale à \(r\) du point \(C\). On appelle secteur circulaire la portion de disque comprise entre un arc et les 2 rayons qui aboutissent à ses extrémités.

Polygones

Un polygone est une figure plane délimitée par une ligne fermée constituée de segments de droite. Ces segments sont les côtés (\(c\)) du polygone et le point d'intersection de deux côtés est appelé sommet (\(S\)) du polygone. Une diagonale (\(d\)) d'un polygone est un segment de droite qui joint deux sommets non consécutifs. Un polygone est convexe si tout segment ayant ses extrémités sur le polygone y est inclus tout entier. Dans la suite, on ne considérera que des polygones convexes.

Un polygone est régulier si tous ses côtés ont même longueur et tous ses angles intérieurs ont même amplitude. Voici un tableau reprenant les principaux polygones réguliers, avec leur nombre de côtés et l'amplitude de leurs angles intérieurs :

polygone Nombre de côtés Amplitude des angles
triange 3 \(60^{\circ}\)
carré 4 \(90^{\circ}\)
pentagone 5 \(108^{\circ}\)
hexagone 6 \(120^{\circ}\)
heptagone 7 \(128,57^{\circ}\)
octogone 8 \(135^{\circ}\)
décagone 10 \(144^{\circ}\)
dodécagone 12 \(150^{\circ}\)

 

Les polygones réguliers possèdent les propriétés suivantes :

Proposition
  1. Tout polygone régulier admet un axe de symétrie.
  2. Tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle.

En effet, si le polygone a un nombre impair de côtés, toute droite joignant un sommet au milieu du côté opposé est un axe de symétrie. Si le polygone a un nombre pair de côtés, toute droite joignant un sommet au sommet opposé est un axe de symétrie et toute droite joignant le milieu de deux côtés opposés est aussi un axe de symétrie.

Tous les axes de symétrie d'un polygone se coupent en un point qui est le centre d'un cercle dans lequel on peut inscrire le polygone. Le cercle circonscrit au polygone est le cercle centré en ce point et passant par tous les sommets du polygone.

Théorème - La somme des mesures des angles d'un polygone à \(n\) côtés vaut \((n-2)\times 180^{\circ}\)

Triangles

Un triangle est un polygone à trois côtés. Il a également trois sommets et trois angles. Un triangle qui a 3 côtés égaux est dit équilatéral. Un triangle isocèle a 2 côtés de même longueur et un triangle scalène est un triangle ayant ses 3 côtés de longueur différente.

(a) Triangles quelconques

Un triangle quelconque est un triangle qui ne contient aucun angle droit. On utilise les lettres \(A,B,C\) pour les sommets du triangle, les lettres \(a,b,c\) pour les longueurs des côtés opposés à ces sommets, et \(\alpha, \beta, \gamma\) pour les angles en chacun des sommets.

Théorème - La somme des mesures des angles dans un triangle vaut toujours \(180^\circ = \pi\) radians, c'est-à-dire \(\alpha+ \beta+\gamma=180^\circ\).

On déduit du Théorème de Thalès et proportions le résultat suivant.

Proposition - Dans tout triangle, la droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.
Réciproquement, dans tout triangle, le segment joignant les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté et sa longueur vaut la moitié de celle de ce troisième côté.

 

Médiatrices d'un triangle

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au milieu de ce segment. Tous les points de cette droite sont à même distance des extrémités du segment. Réciproquement, tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à la médiatrice de ce segment.
Cliquez sur le lien pour la construction de la médiatrice d'un segment.

Une médiatrice d'un triangle est une droite perpendiculaire au milieu d'un de ses côtés. Un triangle a donc 3 médiatrices. On peut démontrer la propriété suivante.

Théorème - Les trois médiatrice d'un triangle se coupent en un même point.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Le point d'intersection des trois médiatrices d'un triangle se trouve à égale distance des trois sommets du triangle. Ce point est donc le centre du cercle circonscrit au triangle. Par trois points non alignés, on peut donc faire passer un et un seul cercle.

 

 

Bissectrices d'un triangle

La bissectrice d'un angle est la droite qui coupe cet angle en deux angles de même amplitude. Tous les points de cette droite sont à même distance des côtés de l'angle. Réciproquement, tout point équidistant des côtés d'un angle appartient à la bissectrice de cet angle.
Cliquez sur le lien pour la construction de la bissectrice d'un angle.

Une bissectrice d'un triangle est une droite qui coupe un de ses angles en deux angles de même amplitude. Un triangle a donc 3 bissectrices. On peut démontrer la propriété suivante.

Théorème - Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un même point.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Le point d'intersection des trois bissectrices d'un triangle se trouve à égale distance des trois côtés du triangle. Ce point est donc le centre du cercle inscrit au triangle. Ce cercle est tangent à chaque côté du triangle.

 

Médianes d'un triangle

Une médiane d'un triangle est une droite qui relie un des sommets au milieu du côté opposé. Un triangle a donc 3 médianes. On peut démontrer la propriété suivante.

Théorème - Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même point.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

 

Le point d'intersection des trois médianes est le centre de gravité du triangle. Il est situé sur chaque médiane aux \(2/3\) de chacune d'elle à partir du sommet.

 

 

Hauteurs d'un triangle

Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). Un triangle a donc 3 hauteurs. On peut démontrer la propriété suivante.

Théorème - Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Le point d'intersection des trois hauteurs est l'orthocentre du triangle.

(b) Triangles isocèles

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Le troisième côté est appelé base du triangle. On peut montrer les propriétés suivantes.

Proposition - Dans un triangle isocèle,
  1. les angles à la base ont même amplitude;
  2. la médiatrice de la base est égale à la bissectrice de l'angle opposé;
  3. la médiatrice de la base est aussi médiane;
  4. la médiatrice de la base est aussi hauteur.

(c) Triangles rectangles

Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse du triangle rectangle. Le théorème principal dans les triangles rectangles est le Théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore - Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), alors

\(a^2+b^2=c^2.\)

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Les triangles rectangles possèdent les propriétés suivantes.

Proposition 
  1. Tout triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle.
  2. On peut inscrire tout triangle rectangle dans un demi-cercle dont le diamètre est l'hypoténuse du triangle.
  3. Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
  4. Dans un triangle rectangle, la carré de la longueur de la hauteur relative à l'hypoténuse est égal au produit des longueurs des segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse.

(d) Triangles semblables

Deux triangles sont semblables s'ils leurs angles ont deux à deux la même amplitude.

Théorème - Dans les triangles semblables, les côtés correspondants sont proportionnels, c'est-à-dire

\(\displaystyle\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}.\)

Remarque : Ces égalités impliquent par exemple que \(\frac{a}{c}=\frac{a'}{c'}\)ces valeurs sont donc égales pour tous les triangles semblables.

Les critères suivants permettent de voir si deux triangles sont semblables :

Proposition
  1. Deux triangles sont semblables s'ils ont un angle de même amplitude dont les côtés correspondants sont proportionnels.
  2. Deux triangles sont semblables s'ils ont deux angles correspondants de même amplitude.
  3. Deux triangles sont semblables si leurs côtés correspondants sont proportionnels.

Par exemple, supposons qu'une personne de 1,80 m souhaite déterminer la hauteur d'un pont au dessus d'une rivière. Commençons par représenter la situation

La personne se tient en \(A\) à un bout du pont et regarde le point \(T\) de la rivière en dessous de \(B\). Il note \(P\) l'endroit où sa vision rencontre le pont. Ce point \(P\) permet de former deux triangles : les triangles \(APC\) et \(BPT\). Ces deux triangles sont semblables car ils ont deux angles égaux : un angle droit (respectivement en \(A\) et en \(B\)) et les deux angles en \(P\). On peut maintenant calculer la hauteur du pont en utilisant les relations dans les triangles semblables : si \(|AP| \) vaut 3 m et si \(|PB| \) vaut 12 m, alors

\(\dfrac{|AC|}{|BT|}=\dfrac{|AP|}{|PB|} = \dfrac{3}{12}.\)

Donc \(|BT|= |AC|. \frac{12}{3}= (1,8). 4 = 7,2\) m.

Quadrilatères

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. Une diagonale d'un quadrilatère est un segment de droite qui relie deux sommets opposés. Une médiane d'un quadrilatère est un segment de droite qui relie les milieux de deux côtés opposés.

Théorème - La somme des mesures des angles dans un quadrilatère vaut toujours \(360^{\circ}\).

(a) Trapèze

Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles. Ces côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze. Un trapèze qui possède un angle droit est un trapèze rectangle. Un trapèze dont les deux côtés non parallèles ont même longueur est un trapèze isocèle.

Proposition - Dans un trapèze, la droite qui joint les milieux des deux côtés non parallèles est parallèle aux bases.

(b) Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Les côtés opposés d'un parallélogramme ont même longueur et ses angles opposés ont même amplitude.

Proposition - Dans un parallélogramme,
  1. les diagonales se coupent en leur milieu;
  2. les médianes se coupent en leur milieu;
  3. les médianes sont parallèles aux côtés;
  4. les diagonales et les médianes se coupent en un même point.

(c) Rectangle

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Proposition - Dans un rectangle,
  1. les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu;
  2. les médianes sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu;
  3. les médianes sont parallèles aux côtés;
  4. les diagonales et les médianes se coupent en un même point, centre du cercle circonscrit au rectangle.

(d) Losange

Un losange est un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur.

Proposition - Dans un losange,
  1. les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu;
  2. les médianes ont mème longueur et se coupent en leur milieu;
  3. les médianes sont parallèles aux côtés;
  4. les diagonales et les médianes se coupent en un même point.

(e) Carré

Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

Proposition - Dans un carré,
  1. les diagonales sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et ont même longueur;
  2. les médianes sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et ont même longueur;
  3. les médianes sont parallèles aux côtés;
  4. les diagonales et les médianes se coupent en un même point.

Périmètre et aire de surfaces élémentaires

Voici les formules permettant de calculer le périmètre et la surface de quelques formes géométriques de base.

(a) Disque et secteur

La longueur du cercle de rayon \(r\) a est le nombre \(l=2\pi r\). La surface du disque de rayon \(r\) est le nombre \(S=\pi\, r^2\).

 

La longueur de l'arc intercepté par un angle \(\alpha\) sur un cercle de rayon \(r\) est donnée par \(L=r\alpha\), où \(\alpha\) est mesuré en radians.

La surface du secteur circulaire de rayon \(r\) et d'angle \(\alpha\) est le nombre \(S=\dfrac{r^2\alpha}{2}\), où \(\alpha\) est mesuré en radians.

(b) Triangle

Le périmètre du triangle de côtés \(a\), \(b\), \(c\) est le nombre \(P=a+b+c\).
La surface du triangle de base \(B\) et de hauteur \(h\) est le nombre \(S=\dfrac{Bh}{2}\).

 

En effet, les surfaces \(S_1\) et \(S_1'\) ainsi que \(S_2\) et \(S_2'\) sont égales. La surface du triangle est donc la moitié de celle du rectangle dans lequel il est inscrit.

(c) Rectangle

Le rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(l\) a pour périmètre le nombre \(P=2(L+l)\) et sa surface est le nombre \(S=Ll\).

 

En particulier, le carré de côté \(c\) a pour périmètre le nombre \(P=4c\) et sa surface est le nombre \(S=c^2\).

(d) Parallélogramme

Le périmètre d'un parallélogramme de côtés non parallèles \(B\) et \(b\) est le nombre \(P=2(B+b)\).
La surface du parallélogramme de base \(B\) et de hauteur \(h\) est le nombre \(S=Bh\).

 

En effet, si on découpe le triangle hachuré à gauche et qu'on le colle à droite, on retrouve l'aire du rectangle.

(e) Losange

Le losange de grande diagonale \(D\) et de petite diagonale \(d\) a pour périmètre le nombre \(P=2\sqrt{D^2+d^2}\) et sa surface est le nombre \(S=\dfrac{Dd}{2}\).

En effet, la surface du losange est la moitié de celle du rectangle dans lequel il est inscrit.
Son périmètre vaut \(4c\)\(c\) est la longueur du côté. Comme les diagonales sont perpendiculaires entre elles et se coupent en leur milieu, on déduit du Théorème de Pythagore que

\(c^2=\left(\dfrac{D}{2}\right)^2+\left(\dfrac{d}{2}\right)^2\mbox{ d'où }c=\sqrt{\frac{D^2}{4}+\frac{d^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+d^2}.\)

Le périmètre vaut donc \(P=4c=2\sqrt{D^2+d^2}\).

(f) Trapèze

Le trapèze de grande base \(B\), de petite base \(b\) et de hauteur \(h\) a pour surface le nombre
\(S=\frac{1}{2}(B+b)h\).

En effet, l'aire du trapèze est donnée par \(bh+\dfrac{1}{2}(B-b)h=\dfrac{1}{2}(B+b)h\).

Volume de solides élémentaires

On appelle polyèdre un solide limité de toutes parts par des portions de plans.

Les faces d'un polyèdre sont les polygones plans qui composent la surface du polyèdre. Les arêtes (a) d'un polyèdre sont les côtés des polygones qui forment les faces du polyèdre. Les sommets (S) du polyèdre sont les extrémités des arêtes. Le développement d'un polyèdre est la figure plane obtenue par la mise à plat de sa surface.

Un prisme est un polyèdre ayant pour base deux polygones égaux et parallèles et dont les faces latérales sont des parallélogrammes.

La hauteur d'un prisme est la distance entre les plans des bases. C'est la hauteur de la perpendiculaire commune aux deux bases. Un prisme est droit lorsque les arêtes latérales sont perpendiculaires à la base, sinon on dit qu'il est oblique.

Un cylindre droit est un solide borné par une région plane \(B_1\), appelée la base et une région identique \(B_2\) dans un plan parallèle. Le cylindre est constitué de tous les points des segments perpendiculaires à la base qui relient \(B_1\) à \(B_2\).

En général, si \(B\) désigne l'aire de la base et \(h\) la hauteur d'un solide, alors le volume \(V\) du solide est défini par la formule

\(V=Bh.\)

Voici les formules permettant de calculer le volume de quelques solides simples.

(a) Parallélipipède rectangle

Le parallélipipède rectangle dont la base est un rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(l\) et dont la hauteur est \(h\) a pour volume le nombre \(V=Llh\).

En particulier, le cube d'arête \(c\) a pour volume le nombre \(V=c^3\).

(b) Cylindre circulaire droit

Le cylindre circulaire droit dont la base est un disque de rayon \(r\) et dont la hauteur est \(h\) a pour volume le nombre \(V=\pi\, r^2\, h\).

(c) Sphère

La sphère de rayon \(r\) a pour volume le nombre \(V=\dfrac{4\pi\, r^3}{3}\).

Mesures et grandeurs

Les mesures et grandeurs que nous allons considérer ici sont : longueur, surface, volume, capacité, masse et durée. Dans chaque cas, nous donnons un tableau des unités de mesures ainsi que la manière de les convertir.

(a) Longueur

Les unités de longueur sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 1 chiffre. L'unité de référence pour les unités de longueur est le mètre (m). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de longueur.

Unités Abréviations Equivalences
kilomètre km 1 km = 1000 \(\times\) 1 m
hectomètre hm 1 hm = 100 \(\times\) 1 m
décamètre dam 1 dam = 10 \(\times\) 1 m
mètre m 1 m = 1 m
décimètre dm 1 dm = 0,1 \(\times\) 1 m
centimètre cm 1 cm = 0,01 \(\times\) 1 m
millimètre mm 1 mm = 0,001 \(\times\) 1 m

 

Pour passer d'une unité de longueur à une autre unité de longueur, il est utile d'utiliser le tableau de conversion des unités de longueur.

km hm dam m dm cm mm
             

 

Par exemple, combien font 25 cm en mm et en m ? On construit le tableau suivant :

km hm dam m dm cm mm
        2 5  
        2 5 0
      0, 2 5  

 

On en conclut que 25 cm=250 mm=0,25 m.

(b) Surface

Les unités de surface sont des unités de mesure à 2 dimensions. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 2 chiffres. L'unité de référence pour les unités de surface est le mètre carré (\(m^2\)). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de surface.

Unités Abréviations Equivalences
kilomètre carré km\(^2\) 1 km\(^2\) = 1000000 \(\times\) 1 m\(^2\)
hectomètre carré hm\(^2\) 1 hm\(^2\) = 10000 \(\times\) 1 m\(^2\)
décamètre carré dam\(^2\) 1 dam\(^2\) = 100 \(\times\) 1 m\(^2\)
mètre carré m\(^2\) 1 m\(^2\) = 1 m\(^2\)
décimètre carré dm\(^2\) 1 dm\(^2\) = 0,01 \(\times\) 1 m\(^2\)
centimètre carré cm\(^2\) 1 cm\(^2\) = 0,0001 \(\times\) 1 m\(^2\)
millimètre carré mm\(^2\) 1 mm\(^2\) = 0,000001 \(\times\) 1 m\(^2\)

 

Pour passer d'une unité de surface à une autre, il est utile d'utiliser le tableau de conversion des unités de surface.

km\(^2\) hm\(^2\) dam\(^2\) m\(^2\) dm\(^2\) cm\(^2\) mm\(^2\)
                           

 

Par exemple, combien font 25 cm\(^2\) en mm\(^2\) et en m\(^2\) ? On construit le tableau suivant :

km\(^2\) hm\(^2\) dam\(^2\) m\(^2\) dm\(^2\) cm\(^2\) mm\(^2\)
                    2 5    
                    2 5 0 0
                0, 0 0 2 5    

 

On en conclut que 25 cm\(^2\)=2500 mm\(^2\)=0,0025 m\(^2\).

Remarque : Pour mesurer les surfaces, on utilise aussi les ares (a) et les hectares (ha).

1 a = 100 m\(^2\)
1 ha = 100 a = 10000 m\(^2\)

(c) Volume

Les unités de volume sont des unités de mesure à 3 dimensions. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 3 chiffres. L'unité de référence pour les unités de volume est le mètre cube (m\(^3\)). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de volume.

Unités Abréviations Equivalences
kilomètre cube km\(^3\) 1 km\(^3\) = 1 000 000 000 \(\times\) 1 m\(^3\)
hectomètre cube hm\(^3\) 1 hm\(^3\) = 1 000 000 \(\times\) 1 m\(^3\)
décamètre cube dam\(^3\) 1 dam\(^3\) = 1000 \(\times\) 1 m\(^3\)
mètre cube m\(^3\) 1 m\(^3\) = 1 m\(^3\)
décimètre cube dm\(^3\) 1 dm\(^3\) = 0,001 \(\times\) 1 m\(^3\)
centimètre cube cm\(^3\) 1 cm\(^3\) = 0,000001 \(\times\) 1 m\(^3\)
millimètre cube mm\(^3\) 1 mm\(^3\) = 0,000000001 \(\times\) 1 m\(^3\)

 

Pour passer d'une unité de volume à une autre, il est utile d'utiliser le tableau de conversion des unités de volume.

km\(^3\) hm\(^3\) dam\(^3\) m\(^3\) dm\(^3\) cm\(^3\) mm\(^3\)
                                         

 

Par exemple, combien font 25 cm\(^3\) en mm\(^3\) et en m\(^3\) ? On construit le tableau suivant :

km\(^3\) hm\(^3\) dam\(^3\) m\(^3\) dm\(^3\) cm\(^3\) mm\(^3\)
                                2 5      
                                2 5 0 0 0
                          0, 0 0 0 0 2 5      

 

On en conclut que 25 cm\(^3\)=25000 mm\(^3\)=0,000025 m\(^3\).

(d) Capacité

Les unités de capacité sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 1 chiffre. L'unité de référence pour les unités de capacité est le litre (l). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de capacité.

Unités Abréviations Equivalences
kilolitre kl 1 kl = 1000 \(\times\) 1 l
hectolitre hl 1 hl = 100 \(\times\) 1 l
décalitre dal 1 dal = 10 \(\times\) 1 l
litre l 1 l = 1 l
décilitre dl 1 dl = 0,1 \(\times\) 1 l
centilitre cl 1 cl = 0,01 \(\times\) 1 l
millilitre ml 1 ml = 0,001 \(\times\) 1 l

 

Pour passer d'une unité de capacité à une autre, il est utile d'utiliser le tableau de conversion des unités de capacité.

kl hl dal l dl cl ml
             

 

Par exemple, combien font 25 dl en ml et en l ? On construit le tableau suivant :

kl hl dal l dl cl ml
      2 5    
      2 5 0 0
      2, 5    

 

On en conclut que 25 dl=2500 ml=2,5 l.

Remarque : Un litre d'eau occupe un volume de 1 dm\(^3\). On peu donc utiliser le tableau suivant pour passer d'une capacité à un volume et réciproquement.

                                                      kl hl  dal    l    dl  cl ml  
km\(^3\) hm\(^3\) dam\(^3\) m\(^3\) dm\(^3\) cm\(^3\) mm\(^3\)
                                             

 

Par exemple, combien font 25 dl d'eau en m\(^3\) et en mm\(^3\) ? Combien font 3 cm\(^3\) d'eau en l et en ml ? On construit le tableau suivant :

                                                      kl hl  dal    l   dl  cl ml  
km\(^3\) hm\(^3\) dam\(^3\) m\(^3\) dm\(^3\) cm\(^3\) mm\(^3\)
                                2 5          
                          0, 0 0 2 5          
                                2 5 0 0 0 0 0
                                      3      
                                0, 0 0 3      

 

On en conclut que 25 dl=0,0025 m\(^3\)=2500000 mm\(^3\) et 3 cm\(^3\)=0,003 l=3 ml.

(e) Masse

Les unités de masse sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 1 chiffre. L'unité de référence pour les unités de masse est le gramme (g). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de masse.

Unités Abréviations Equivalences
kilogramme kg 1 kg = 1000 \(\times\) 1 g
hectogramme hg 1 hg = 100 \(\times\) 1 g
décagramme dag 1 dag = 10 \(\times\) 1 g
gramme g 1 g = 1 g
décigramme dg 1 dg = 0,1 \(\times\) 1 g
centigramme cg 1 cg= 0,01 \(\times\) 1 g
milligramme mg 1 mg = 0,001 \(\times\) 1 g

 

Pour passer d'une unité de masse à une autre, il est utile d'utiliser le tableau de conversion des unités de masse.

kg hg dag g dg cg mg
             

 

Par exemple, combien font 25 g en mg et en kg ? On construit le tableau suivant :

kg hg dag g dg cg mg
    2 5      
    2 5 0 0 0
0, 0 2 5      

 

On en conclut que 25 g=25000 mg=0,025 kg.

(f) Temps

Les unités de durée sont des unités de mesure particulières. Contrairement aux autres unités de mesure, il n'existe pas de coefficient de passage unique. L'unité de référence pour les unités de durée est la seconde (s). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de temps.

Unités Abréviations Equivalences
Jour j 1 j = 24 h
heure h 1 h = 60 min = 3600 s
minute min 1 min = 60 s
seconde s 1 s = 1 s

 

Passer d'une unité de durée à une autre est plus difficile que dans les autres cas. Il faut pour cela utiliser la dernière colonne du tableau ci-dessus.

Par exemple, combien font 3h25 en secondes ?
On a \(3\) h \(25=3\cdot 3600+25\cdot 60=10800+1500=12300\) s.

Combien font 1000000 secondes en heures ?
On a

\(\begin{array}{rl} 1000000&=360000\cdot 2+36000\cdot 7+3600\cdot 7+60\cdot 46+40\\ &=200\cdot 3600+70\cdot 3600+7\cdot 3600+46\cdot 60+40\\ &=277\cdot 3600+46\cdot 60+40\\ &=277\mbox{ h }46\mbox{ min }40\mbox{ s}\\ &=1\mbox{ j }13\mbox{ h }46\mbox{ min }40\mbox{ s} \end{array}\)

Exemples détaillés

  1. Combien font 25 dam en km ?

Solution détaillée : On construit le tableau suivant :

km hm dam m dm cm mm
  2 5        
0, 2 5        

 

On en conclut que 25 dam=0,25 km.

 

  1. Combien font 250 cm\(^2\) en m\(^2\) ?

Solution détaillée : On construit le tableau suivant :

km\(^2\) hm\(^2\) dam\(^2\) m\(^2\) dm\(^2\) cm\(^2\) mm\(^2\)
                  2 5 0    
              0, 0 2 5      

 

On en conclut que 250 cm\(^2\)=0,025 m\(^2\).

 

  1. Combien font 0,5 m\(^3\) en cm\(^3\) ?

Solution détaillée : On construit le tableau suivant :

km\(^3\) hm\(^3\) dam\(^3\) m\(^3\) dm\(^3\) cm\(^3\) mm\(^3\)
                      0, 5                
                        5 0 0 0 0 0      

 

On en conclut que 0,5 m\(^3\)=500000 cm\(^3\).

 

  1. Combien d'eau font 3 l en cm\(^3\) ?

Solution détaillée : On construit le tableau suivant :

                                                      kl hl  dal    l    dl  cl ml  
km\(^3\) hm\(^3\) dam\(^3\) m\(^3\) dm\(^3\) cm\(^3\) mm\(^3\)
                                 3            
                                3 0 0 0      

 

On en conclut que 3 l=3 dm\(^3\)=3000 cm\(^3\).

 

  1. Combien font 100 km/h en m/s ?

Solution détaillée : On a

\(\begin{array}{ccc} 100\mbox{ km} & \longrightarrow & 1\mbox{ h} \\ 100000\mbox{ m} & \longrightarrow & 3600\mbox{ s} \\ \dfrac{100000}{3600}\mbox{ m} & \longrightarrow & 1\mbox{ s} \end{array} \)

La vitesse est donc \(\dfrac{100000}{3600}=\dfrac{250}{9}\) mètres par seconde.

 

  1. Combien font 2 m/s en km/h ?

Solution détaillée :

\(\begin{array}{ccc} 2\mbox{ m} & \longrightarrow & 1\mbox{ s} \\ 2\cdot 3600\mbox{ m} & \longrightarrow & 3600\mbox{ s} \\ 7200\mbox{ m} & \longrightarrow & 1\mbox{ h} \end{array} \)

La vitesse est donc \(7200\) m/h, c'est-à-dire 7,2 km/h.

 

  1. Une personne se déplaçant à une vitesse constante parcourt 2 km en 30 minutes.
    1. Quelle est sa vitesse ?
    2. Quelle distance parcourra-t-elle en 45 min ? en 75 min ?

Solution détaillée :

  1. Parcourir 2 km en 30 minutes, revient à faire 4 km en une heure.  Sa vitesse est donc 4 km/h.
  2. Parcourir 2 km en 30 minutes, revient à faire 1 km en 15 minutes et donc 3 km en 45 minutes et 5 km en 75 minutes.

 

  1. Calculer la longueur de la diagonale du cube d'arête \(c\).

Solution détaillée :

La diagonale du cube d'arête \(c\)est la diagonale du rectangle \(ACFE\) et est telle que

\(d^2=\vert AC\vert^2+\vert CF\vert^2=\vert AC\vert^2+c^2.\)

D'autre part, \(AC\) est la diagonale du carré \(ABCD\) et donc

\(\vert AC\vert^2=c^2+c^2=2c^2.\)

Finalement on obtient \(d^2=2c^2+c^2=3c^2\) et donc la longueur de la diagonale du cube est \(d=\sqrt{3}\, c\).

 

  1. Pour mesurer la hauteur d'un arbre, on place un bâton de \(1\) m de haut à \(10\) m de son tronc. En visant le sommet du bâton à \(2\) m de ce bâton, on constate qu'il est aligné avec le sommet de l'arbre. Déterminer la hauteur de cet arbre.

Solution détaillée : Nous pouvons représenter la situation par deux triangles rectangles emboîtés.

\(a'\) représente la hauteur de l'arbre et \(b'\) celle du bâton. On a \(b=2\) m, \(b'=1\) m, \(a=2+10\) m et par Thalès

\(\dfrac{a'}{a}=\dfrac{b'}{b}\)

d'où \(a'=\frac{b'}{b}\cdot a=\frac{1}{2}\cdot 12=6\) m.

 

  1. Un pendule oscille au bout d'une corde de 50 cm. Sachant que l'angle décrit est de \(60^{\circ}\), trouver la longueur de l'arc décrit.

Solution détaillée :
On a \(r=50\) cm, \(\theta=60^{\circ}=\frac{\pi}{3}\) radians. Donc \(L=r\theta=50\cdot\frac{\pi}{3}\mbox{ cm}\).

 

  1. Que faire pour doubler le volume d'un parallélipipède rectangle ? Que devient son aire latérale ?

Solution détaillée : Pour doubler le volume d'un parallélipipède rectangle, il faut doubler une de ses dimensions, par exemple sa hauteur.
Si \(L\) représente la longueur de la base, \(l\)sa largeur et \(h\)la hauteur, l'aire latérale du parallélipipède de départ est donné par \(A=2(Ll+lh+Lh)\).
Si on double sa hauteur, cette aire latérale devient \(A'=2(Ll+2lh+2Lh)\).

 

  1. Etes-vous capable de porter un rouleau de fil de cuivre mesurant 100 m de long et 3 mm de diamètre, si 1 dm\(^3\) de cuivre pèse 8,9 kg ?

Solution détaillée : On a \(l=100\) m=\(100000\) mm, \(d=3\) mm et donc \(r=1,5\) mm. Le volume du rouleau est donné par

\(V=\pi\, r^2\, l=\pi\cdot (1,5)^2\cdot 100000=706858,3\mbox{ mm}^3=706,86\mbox{ cm}^3\approx 0,71\mbox{ dm}^3.\)

Puisque 1 dm\(^3\) pèse \(8,9\) kg, on en déduit que 0,711 dm\(^3\) pèsent \(0,71\cdot 8,9=6,3\) kg.
On peut donc le porter.

Preuves

 

Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque \(ABC\) et soit \(m_1\) médiatrice du côté \(AB\), \(m_2\) médiatrice du côté \(AC\) et \(m_3\) médiatrice du côté \(BC\). Soit \(X\) le point d'intersection de \(m_1\) et \(m_2\). Voyons que \(m_1\), \(m_2\) et \(m_3\) se coupent au point \(X\).
Puisque \(X\in m_1\), on a que les segments \(XA\) et \(XB\) sont de même longueur. De même, puisque \(X\in m_2\), on a que les segments \(XA\) et \(XC\) sont de même longueur. On en déduit que les segments \(XB\) et \(XC\) sont de même longueur et donc que \(X\) est un point de la médiatrice \(m_3\).

 

 

Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque \(ABC\) et soit \(b_1\) bissectrice de l'angle \(BAC\), \(b_2\) bissectrice de l'angle \(ABC\) et \(b_3\) bissectrice de l'angle \(BCA\). Soit \(X\) le point d'intersection de \(b_1\) et \(b_2\). Voyons que \(b_1\), \(b_2\) et \(b_3\) se coupent au point \(X\).
Tous les points de la droite \(b_1\) sont à même distance des côtés \(AB\) et \(AC\) et tous les points de la droite \(b_2\) sont à même distance des côtés \(BA\) et \(BC\). Puisque \(X\in b_1\) et \(X\in b_2\), on a que \(X\) est à même distance des côtés \(AC\) et \(BC\). On en déduit que \(X\) est un point de la bissectrice \(b_3\).

 

Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque \(ABC\) et soit \(A'\) le milieu du segment \(BC\), \(B'\) le milieu du segment \(AC\) et \(C'\) le milieu du segment \(AB\).

On déduit de la Proposition que \(C'B'\parallel BC\) et que la longueur du segment \(BC\) est le double de celle du segment \(B'C'\).

De même, la longueur du segment \(AB\) est le double de celle du segment \(A'B'\) et la longueur du segment \(AC\) est le double de celle du segment \(A'C'\).

Les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont donc semblables et le triangle \(A'B'C'\) est l'image du triangle \(ABC\) par une homothétie. Les droites \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\) sont donc concourantes.

 

Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque \(ABC\) et soit \(h_1\) hauteur passant par \(A\), \(h_2\) hauteur passant par \(B\) et \(h_3\) hauteur passant par \(C\).
Traçons la droite \(a\) passant par \(A\) et parallèle au côté \(BC\), la droite \(b\) passant par \(B\) et parallèle au côté \(AC\) et la droite \(c\) passant par \(C\) et parallèle au côté \(AB\). Soit \(A'\) le point d'intersection de \(b\) et \(c\), \(B'\) le point d'intersection de \(a\) et \(c\) et \(C'\) le point d'intersection de \(a\) et \(b\).

Puisque \(b\parallel AC\) et \(a\parallel BC\) on en déduit que \(ACBC'\) est un parallélogramme et donc les segments \(C'A\) et \(BC\) ont même longueur. De même, puisque \(c\parallel AB\) et \(a\parallel BC\), on en déduit que \(AB'CB\) est un parallélogramme et donc les segments \(AB'\) et \(BC\) ont même longueur. Cela implique que les segments \(C'A\) et \(AB'\) ont même longueur et donc \(A\) est au milieu du segment \(B'C'\).
De plus, \(h_1\perp BC\) et \(BC\parallel B'C'\) donc \(h_1\perp B'C'\).
On en déduit que \(h_1\) est la médiatrice du segment \(B'C'\).

De la même façon, on montre que \(h_2\) est la médiatrice du segment \(A'C'\) et \(h_3\) est la médiatrice du segment \(A'B'\).
Puisque les trois médiatrices du triangle \(A'B'C'\) se coupent en un même point, on en déduit que \(h_1\), \(h_2\) et \(h_3\) se coupent en un même point.

 

Théorème de Pythagore - Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), alors

\(a^2+b^2=c^2.\)

Construisons un carré de côté \(a+b\) et décomposons-le de deux manières différentes :

L'aire du premier carré est égale à

\(c^2+4\dfrac{ab}{2}=c^2+2ab.\)

Celle du deuxième carré est égale à

\(a^2+b^ 2+4\dfrac{ab}{2}=a^2+b^ 2+2ab.\)

Puisque les deux aires sont égales, on obtient \(a^2+b^2=c^2\).

Construction de la médiatrice d'un segment

Soit \(A\) et \(B\) deux points du plan. Pour construire la médiatrice du segment joignant \(A\) à \(B\) :

  • choisir un nombre réel \(r>0\) supérieur à la moitié de la distance entre \(A\) et \(B\);
  • tracer un arc de cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\);
  • tracer un arc de cercle de centre \(B\) et de rayon \(r\);
  • ces deux arcs de cercle se coupent aux points \(P\) et \(Q\);
  • la droite \(PQ\) est la médiatrice du segment reliant \(A\) et \(B\).
 
 

 

Construction de la bissectrice d'un angle

Soit \(O\), \(A\) et \(B\) trois points du plan. Pour construire la bissectrice de l'angle \(\widehat{AOB}\) :

  • choisir un nombre réel \(r>0\);
  • tracer un arc de cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\);
  • cet arc coupe les côtés de l'angle aux points \(P\) et \(Q\);
  • tracer un arc de cercle de centre \(P\) et de rayon \(r\);
  • tracer un arc de cercle de centre \(Q\) et de rayon \(r\);
  • ces deux arcs se coupent au point \(C\);
  • la droite \(OC\) est la bissectrice de l'angle \(\widehat{AOB}\).
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

 

Théorie