Théorie du module : Géométrie et mesure
Table des matières
- Théorème de Thalès et proportions
- Cercles
- Polygones
- Triangles
- Quadrilatères
- Périmètre et aire de surfaces élémentaires
- Volume de solides élémentaires
- Mesures et grandeurs
- Exemples détaillés
Mesures et grandeurs
Les mesures et grandeurs que nous allons considérer ici sont : longueur, surface, volume, capacité, masse et durée. Dans chaque cas, nous donnons un tableau des unités de mesures ainsi que la manière de les convertir.
(a) Longueur
Les unités de longueur sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 1 chiffre. L'unité de référence pour les unités de longueur est le mètre (m). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de longueur.
Unités | Abréviations | Equivalences |
kilomètre | km | 1 km = 1000 \(\times\) 1 m |
hectomètre | hm | 1 hm = 100 \(\times\) 1 m |
décamètre | dam | 1 dam = 10 \(\times\) 1 m |
mètre | m | 1 m = 1 m |
décimètre | dm | 1 dm = 0,1 \(\times\) 1 m |
centimètre | cm | 1 cm = 0,01 \(\times\) 1 m |
millimètre | mm | 1 mm = 0,001 \(\times\) 1 m |
Pour passer d'une unité de longueur à une autre unité de longueur, il est utile d'utiliser le tableau de conversion des unités de longueur.
km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
Par exemple, combien font 25 cm en mm et en m ? On construit le tableau suivant :
km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
2 | 5 | |||||
2 | 5 | 0 | ||||
0, | 2 | 5 |
On en conclut que 25 cm=250 mm=0,25 m.
(b) Surface
Les unités de surface sont des unités de mesure à 2 dimensions. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 2 chiffres. L'unité de référence pour les unités de surface est le mètre carré (\(m^2\)). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de surface.
Unités | Abréviations | Equivalences |
kilomètre carré | km\(^2\) | 1 km\(^2\) = 1000000 \(\times\) 1 m\(^2\) |
hectomètre carré | hm\(^2\) | 1 hm\(^2\) = 10000 \(\times\) 1 m\(^2\) |
décamètre carré | dam\(^2\) | 1 dam\(^2\) = 100 \(\times\) 1 m\(^2\) |
mètre carré | m\(^2\) | 1 m\(^2\) = 1 m\(^2\) |
décimètre carré | dm\(^2\) | 1 dm\(^2\) = 0,01 \(\times\) 1 m\(^2\) |
centimètre carré | cm\(^2\) | 1 cm\(^2\) = 0,0001 \(\times\) 1 m\(^2\) |
millimètre carré | mm\(^2\) | 1 mm\(^2\) = 0,000001 \(\times\) 1 m\(^2\) |
Pour passer d'une unité de surface à une autre, il est utile d'utiliser le tableau de conversion des unités de surface.
km\(^2\) | hm\(^2\) | dam\(^2\) | m\(^2\) | dm\(^2\) | cm\(^2\) | mm\(^2\) | |||||||
Par exemple, combien font 25 cm\(^2\) en mm\(^2\) et en m\(^2\) ? On construit le tableau suivant :
km\(^2\) | hm\(^2\) | dam\(^2\) | m\(^2\) | dm\(^2\) | cm\(^2\) | mm\(^2\) | |||||||
2 | 5 | ||||||||||||
2 | 5 | 0 | 0 | ||||||||||
0, | 0 | 0 | 2 | 5 |
On en conclut que 25 cm\(^2\)=2500 mm\(^2\)=0,0025 m\(^2\).
Remarque : Pour mesurer les surfaces, on utilise aussi les ares (a) et les hectares (ha).
1 a = 100 m\(^2\)
1 ha = 100 a = 10000 m\(^2\)
(c) Volume
Les unités de volume sont des unités de mesure à 3 dimensions. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 3 chiffres. L'unité de référence pour les unités de volume est le mètre cube (m\(^3\)). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de volume.
Unités | Abréviations | Equivalences |
kilomètre cube | km\(^3\) | 1 km\(^3\) = 1 000 000 000 \(\times\) 1 m\(^3\) |
hectomètre cube | hm\(^3\) | 1 hm\(^3\) = 1 000 000 \(\times\) 1 m\(^3\) |
décamètre cube | dam\(^3\) | 1 dam\(^3\) = 1000 \(\times\) 1 m\(^3\) |
mètre cube | m\(^3\) | 1 m\(^3\) = 1 m\(^3\) |
décimètre cube | dm\(^3\) | 1 dm\(^3\) = 0,001 \(\times\) 1 m\(^3\) |
centimètre cube | cm\(^3\) | 1 cm\(^3\) = 0,000001 \(\times\) 1 m\(^3\) |
millimètre cube | mm\(^3\) | 1 mm\(^3\) = 0,000000001 \(\times\) 1 m\(^3\) |
Pour passer d'une unité de volume à une autre, il est utile d'utiliser le tableau de conversion des unités de volume.
km\(^3\) | hm\(^3\) | dam\(^3\) | m\(^3\) | dm\(^3\) | cm\(^3\) | mm\(^3\) | ||||||||||||||
Par exemple, combien font 25 cm\(^3\) en mm\(^3\) et en m\(^3\) ? On construit le tableau suivant :
km\(^3\) | hm\(^3\) | dam\(^3\) | m\(^3\) | dm\(^3\) | cm\(^3\) | mm\(^3\) | ||||||||||||||
2 | 5 | |||||||||||||||||||
2 | 5 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||||||||
0, | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 5 |
On en conclut que 25 cm\(^3\)=25000 mm\(^3\)=0,000025 m\(^3\).
(d) Capacité
Les unités de capacité sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 1 chiffre. L'unité de référence pour les unités de capacité est le litre (l). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de capacité.
Unités | Abréviations | Equivalences |
kilolitre | kl | 1 kl = 1000 \(\times\) 1 l |
hectolitre | hl | 1 hl = 100 \(\times\) 1 l |
décalitre | dal | 1 dal = 10 \(\times\) 1 l |
litre | l | 1 l = 1 l |
décilitre | dl | 1 dl = 0,1 \(\times\) 1 l |
centilitre | cl | 1 cl = 0,01 \(\times\) 1 l |
millilitre | ml | 1 ml = 0,001 \(\times\) 1 l |
Pour passer d'une unité de capacité à une autre, il est utile d'utiliser le tableau de conversion des unités de capacité.
kl | hl | dal | l | dl | cl | ml |
Par exemple, combien font 25 dl en ml et en l ? On construit le tableau suivant :
kl | hl | dal | l | dl | cl | ml |
2 | 5 | |||||
2 | 5 | 0 | 0 | |||
2, | 5 |
On en conclut que 25 dl=2500 ml=2,5 l.
Remarque : Un litre d'eau occupe un volume de 1 dm\(^3\). On peu donc utiliser le tableau suivant pour passer d'une capacité à un volume et réciproquement.
kl | hl | dal | l | dl | cl | ml | ||||||||||||||
km\(^3\) | hm\(^3\) | dam\(^3\) | m\(^3\) | dm\(^3\) | cm\(^3\) | mm\(^3\) | ||||||||||||||
Par exemple, combien font 25 dl d'eau en m\(^3\) et en mm\(^3\) ? Combien font 3 cm\(^3\) d'eau en l et en ml ? On construit le tableau suivant :
kl | hl | dal | l | dl | cl | ml | ||||||||||||||
km\(^3\) | hm\(^3\) | dam\(^3\) | m\(^3\) | dm\(^3\) | cm\(^3\) | mm\(^3\) | ||||||||||||||
2 | 5 | |||||||||||||||||||
0, | 0 | 0 | 2 | 5 | ||||||||||||||||
2 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||
0, | 0 | 0 | 3 |
On en conclut que 25 dl=0,0025 m\(^3\)=2500000 mm\(^3\) et 3 cm\(^3\)=0,003 l=3 ml.
(e) Masse
Les unités de masse sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sous-classe possède 1 chiffre. L'unité de référence pour les unités de masse est le gramme (g). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de masse.
Unités | Abréviations | Equivalences |
kilogramme | kg | 1 kg = 1000 \(\times\) 1 g |
hectogramme | hg | 1 hg = 100 \(\times\) 1 g |
décagramme | dag | 1 dag = 10 \(\times\) 1 g |
gramme | g | 1 g = 1 g |
décigramme | dg | 1 dg = 0,1 \(\times\) 1 g |
centigramme | cg | 1 cg= 0,01 \(\times\) 1 g |
milligramme | mg | 1 mg = 0,001 \(\times\) 1 g |
Pour passer d'une unité de masse à une autre, il est utile d'utiliser le tableau de conversion des unités de masse.
kg | hg | dag | g | dg | cg | mg |
Par exemple, combien font 25 g en mg et en kg ? On construit le tableau suivant :
kg | hg | dag | g | dg | cg | mg |
2 | 5 | |||||
2 | 5 | 0 | 0 | 0 | ||
0, | 0 | 2 | 5 |
On en conclut que 25 g=25000 mg=0,025 kg.
(f) Temps
Les unités de durée sont des unités de mesure particulières. Contrairement aux autres unités de mesure, il n'existe pas de coefficient de passage unique. L'unité de référence pour les unités de durée est la seconde (s). Voici un tableau d'équivalence concernant les unités de temps.
Unités | Abréviations | Equivalences |
Jour | j | 1 j = 24 h |
heure | h | 1 h = 60 min = 3600 s |
minute | min | 1 min = 60 s |
seconde | s | 1 s = 1 s |
Passer d'une unité de durée à une autre est plus difficile que dans les autres cas. Il faut pour cela utiliser la dernière colonne du tableau ci-dessus.
Par exemple, combien font 3h25 en secondes ?
On a \(3\) h \(25=3\cdot 3600+25\cdot 60=10800+1500=12300\) s.
Combien font 1000000 secondes en heures ?
On a
\(\begin{array}{rl} 1000000&=360000\cdot 2+36000\cdot 7+3600\cdot 7+60\cdot 46+40\\ &=200\cdot 3600+70\cdot 3600+7\cdot 3600+46\cdot 60+40\\ &=277\cdot 3600+46\cdot 60+40\\ &=277\mbox{ h }46\mbox{ min }40\mbox{ s}\\ &=1\mbox{ j }13\mbox{ h }46\mbox{ min }40\mbox{ s} \end{array}\)