Module : Nombres complexes
Exercice
Résolvez l'équation \(z^6=-1\)
Réponse
\(S=\left\lbrace \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i, i, \dfrac{-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i, \dfrac{-\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i, -i, \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right\rbrace \)
Aide
Mettre le nombre \(-1\) sous forme trigonométrique \(-1=r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)\) en recherchant \(r_1\) et \(\phi_1\) puis résoudre l'équation \(z^6=r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)\) où \(z=r(\cos\phi+i\sin\phi)\).
Solution
On écrit \(-1=r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)\) avec \(r_1=1\), \(\cos\phi_1=-1\) et \(\sin\phi_1=0\) donc \(\phi_1=\pi\).
Résolvons l'équation \(z^6=\cos\pi+i\sin\pi\) où \(z=r(\cos\phi+i\sin\phi)\).
On a \(r^6(\cos6\phi+i\sin6\phi)=\cos\pi+i\sin\pi\)
et par suite,
\(\left\{\begin{array}{rl} r^6&=1\\ 6\phi&=\pi+2k\pi\qquad(k\in\mathbb{Z}) \end{array}\\ \right. \left\{\begin{array}{rl} r&=1\\ \phi&=\dfrac{\pi+2k\pi}{6}\qquad(k\in\mathbb{Z}) \end{array} \right.\)
En donnant des valeurs \(\{0,1,2,3,4,5\}\) à \(k\), il vient
\(z_0=\cos(\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\\ z_1=\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2})=i\\ z_2=\cos(\frac{5\pi}{6})+i\sin(\frac{5\pi}{6})=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\\ z_3=\cos(\frac{7\pi}{6})+i\sin(\frac{7\pi}{6})=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\\ z_4=\cos(\frac{3\pi}{2})+i\sin(\frac{3\pi}{2})=-i\\ z_5=\cos(\frac{11\pi}{6})+i\sin(\frac{11\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\)
qui sont les six racines sixièmes de \(-1\).
Théorie
La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.