Module : Nombres complexes

Exercice

Résolvez l'équation \(z^6=-1\)

Réponse

\(S=\left\lbrace \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i, i, \dfrac{-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i, \dfrac{-\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i, -i, \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right\rbrace \)

Aide

Mettre le nombre \(-1\) sous forme trigonométrique \(-1=r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)\) en recherchant \(r_1\) et \(\phi_1\) puis résoudre l'équation \(z^6=r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)\)\(z=r(\cos\phi+i\sin\phi)\).

Solution

On écrit  \(-1=r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1)\) avec \(r_1=1\)\(\cos\phi_1=-1\)  et \(\sin\phi_1=0\) donc  \(\phi_1=\pi\).

Résolvons l'équation \(z^6=\cos\pi+i\sin\pi\)\(z=r(\cos\phi+i\sin\phi)\).

On a \(r^6(\cos6\phi+i\sin6\phi)=\cos\pi+i\sin\pi\)

et par suite,

\(\left\{\begin{array}{rl} r^6&=1\\ 6\phi&=\pi+2k\pi\qquad(k\in\mathbb{Z}) \end{array}\\ \right. \left\{\begin{array}{rl} r&=1\\ \phi&=\dfrac{\pi+2k\pi}{6}\qquad(k\in\mathbb{Z}) \end{array} \right.\)

En donnant des valeurs \(\{0,1,2,3,4,5\}\) à \(k\), il vient

\(z_0=\cos(\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\\ z_1=\cos(\frac{\pi}{2})+i\sin(\frac{\pi}{2})=i\\ z_2=\cos(\frac{5\pi}{6})+i\sin(\frac{5\pi}{6})=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\\ z_3=\cos(\frac{7\pi}{6})+i\sin(\frac{7\pi}{6})=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\\ z_4=\cos(\frac{3\pi}{2})+i\sin(\frac{3\pi}{2})=-i\\ z_5=\cos(\frac{11\pi}{6})+i\sin(\frac{11\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\)

qui sont les six racines sixièmes de \(-1\).

Théorie

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.


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