(a) \(1+\sqrt[]{3}i\)

\(2(\cos \frac{\pi}{3} +i\sin \frac{\pi}{3})\)

On calcule le module \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) et l'argument \(\phi\) tel que \(\cos \phi =\dfrac{a}{|z|}\) et \(\sin \phi =\dfrac{b}{|z|}\).

Soit le nombre complexe \(z=1+\sqrt[]{3}i\).

On calcule \(|z|=\sqrt[]{1+3}=2\) et

\(\cos\phi=\dfrac{1}{2}\qquad\sin\phi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\Rightarrow \phi=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\qquad (k\in\mathbb{Z})\)

Une forme trigonométrique de \(z\) est donc \(2(\cos \frac{\pi}{3} +i\sin \frac{\pi}{3})\).

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.

(b) \(-i\)

\(\cos \frac{3\pi}{2} +i\sin \frac{3\pi}{2}\)

On calcule le module \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) et l'argument \(\phi\) tel que \(\cos \phi =\dfrac{a}{|z|}\) et \(\sin \phi =\dfrac{b}{|z|}\).

Soit le nombre complexe \(z=-i\).

On calcule \(|z|=\sqrt[]{0+1}=1\) et

\(\cos\phi=\dfrac{0}{1}=0\qquad\sin\phi=\dfrac{-1}{1}=-1\qquad\Rightarrow \phi=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\qquad (k\in\mathbb{Z})\)

Une forme trigonométrique de \(z\) est donc \(\cos \frac{3\pi}{2} +i\sin \frac{3\pi}{2}\).

La théorie correspondant à cet exercice se trouve ici.